第二章 第2节 函数的单调性与最值-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　函数的单调性与最值 ★[课程标准] 1．借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域是D 如果对于　任意　的x1，x2∈D，当　x1＜x2　时，都有　f(x1)＜f(x2)　，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上　单调递增　. 如果对于　任意　的x1，x2∈D，当　x1＜x2　时，都有　f(x1)＞f(x2)　，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上　单调递减　. 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有　单调性　.此时，区间I为函数y＝f(x)的　单调区间　. 2．函数的最值 (1)若　存在　实数M，对所有的x∈D，都有　f(x)≤M　，且　存在　x0∈D，使得　f(x0)＝M　，则称M为函数y＝f(x)的最大值． (2)若　存在　实数M，对所有的x∈D，都有　f(x)≥M　，且　存在　x0∈D，使得　f(x0)＝M　，则称M为函数y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为　最值　. 　　 1．单调性定义的推广 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．单调性的几个结论 (1)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (2)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (3)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． (4)“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√ ◆[小题查验] 1．(多选)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　　　　 B．f(x)＝x＋2 C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：BD　[函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x＋2在R上是增函数；函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数．故选BD.] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：C　[由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]．] 3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 解析：A　[由>0，知f(a)－f(b)与a－b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数．故选A.] 4．(忽视定义域致误)函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[由x2－4>0，可得x<－2或x>2，