第二章 第1节 函数的概念及其表示-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　函数的概念及其表示 ★[课程标准] 1．通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的定义及相关概念 (1)函数定义：给定实数集R中的两个　非空　数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的　每一个　数x，在集合B中都有　唯一确定　的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. (2)相关概念：集合　A　称为函数的定义域，x称为　自变量　；与x值对应的y值称为　函数值　，集合　{f(x)|x∈A}　称为函数的值域． (3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 　　 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 2．函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (4)对数型函数的真数大于0. ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(　　) (2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　) (4)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× ◆[小题查验] 1．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　　) 解析：ACD　[根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足．] 2．(多选)下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝|2x|，g(x)＝ B．f(x)＝x2，g(t)＝t2 C．f(x)＝1，g(x)＝x0 D．f(x)＝x＋4，g(x)＝ 解析：AB　[A中两个函数定义域都是R，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B中两个函数定义域都是R，对应法则都是取平方，是同一函数；C中f(x)定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，不是同一函数；D中f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠4}，不是同一函数．] 3．已知函数f(x)＝则f的值是(　　) A．9　　 B. C．－9　　 D．－ 解析：B　[f＝log2＝log22－2＝－2， f＝f(－2)＝3－2＝.] 4．函数f(x)＝＋的定义域是　________　. 答案：(－4,4] 5．(忽视变量的范围致误)已知f ()＝x－1，则f (x)＝　____________　. 解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f (t)＝t2－1(t≥0)，即f (x)＝x2－1(x≥0)． 答案：x2－1(x≥0) 　 函数的定义域 ►[命题点1]　求给定函数解析式的定义域　 1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是　________　. 解析：由得所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}． 答案：{x|－3<x<2且x≠1} 2．(2023·全国模拟)函数y＝的定义域是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：A　[由题意，得，则，即， ∴x∈.] (1)已知函数的解析式求定义域，构建使解析式有意义的不等式(组)求解．如果所给解析式较复杂，切记不要化简后再求定义域． (2)所求定义域须用集合或区间表示． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． ►[命题点2]　求抽象函数的定义域　 [典例1]　(2023·江苏模拟)若函数f(x)的定义域为[－1,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[1,4] B．(1,4] C．[1,2] D．(1,2] [解析]　由于函数f(x)的定义域为[－1,2]，对于函数g(x)＝，有，解得1＜x≤4.因此函数g(x)＝的定义域是(1,4]．故选B. [答案]　B [互动探究] 若将本例改为“已知函数y＝f(x2－4)的定义域是[－1,5]”，则函数y＝f(2x＋1)的定义域为