第八章 热点强化课9 第2课时 定点、定值、探索性问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2课时　定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定点、定值与探索性问题是高考考查的重点和热点，常利用特殊与一般、方程思想求解． 　 　　定点问题 [例1]　 (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [解]　(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1，过A(0，－2)，B， 则，解得m＝，n＝， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)A(0，－2)，B，所以AB：y＋2＝x， ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，直线x＝1.代入＋＝1， 可得M，N，代入AB方程y＝x－2，可得T，由＝，得到H.求得HN方程： y＝x－2，过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在，设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立，得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0， 可得，， 且x1y2＋x2y2＝(*)联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1)， 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)，代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． ◆[通技法]　定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 1．(2023·聊城市模拟)已知圆x2＋y2＝4经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点和两个顶点，点A(0,4)，M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|. (1)求椭圆C的方程； (2)证明：直线MN过定点． 解：(1)圆x2＋y2＝4与x轴交点(±2,0)即为椭圆的焦点，圆x2＋y2＝4与y轴交点(0，±2)即为椭圆的上下两顶点，所以c＝2，b＝2.从而a＝2， 因此椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋m. 由，消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－， x1x2＝. 直线AM的斜率k1＝＝k＋；直线AN的斜率k2＝＝k＋. k1＋k2＝2k＋＝2k＋＝. 由∠MAN的平分线在y轴上，得k1＋k2＝0.即＝0， 又因为|AM|≠|AN|，所以k≠0，所以m＝1. 因此，直线MN过定点(0,1)． 定值问题 [例2]　(2023·云南玉溪模拟)已知点A(－1,0)，圆B：(x－1)2＋y2＝8，点P是圆B上的动点，PA的垂直平分线与PB交于点Q，记Q的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设经过点E的直线l与C交于M，N两点，求证：·为定值，并求出该定值． [解]　(1)圆B的圆心为B(1,0)，半径＝2， 由点Q在PA的垂直平分线上，得＝， 所以＋＝＋＝＝2>＝2， 所以Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a＝2，2c＝2， 所以a＝，c＝1，b＝1， 所以C的方程为＋y2＝1. (2)证明：①当直线l的斜率不存在时，易知·＝(0,1)·(0，－1)＝－1， ②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则把y＝kx＋代入＋y2＝1，得3(2k2＋1)x2＋4kx－4＝0， 显然Δ>0，有x1＋x2＝－，x1x2＝－， y1y2＝＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝－＋＝＝－1， 综上所述，·为定值－1. ◆[通技法]　求定值问题常见的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．(2023·全国模拟)设椭圆C：＋＝1(0＜b＜4)的右焦点为F，左顶点为A.M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点(Q在x轴下方)，且当M为椭圆的下顶点时，＝2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点S，T满足＝，＝，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值． 解：(1)当M为椭圆的下顶点时，＝(4，－b)，则＝＝. 设C的焦距为2c，则Q， 即Q. 因为Q在C上，故＋＝1，解得b2＝16－(2－2)2＝8. 则椭圆C的标准方程为＋＝