第八章 热点强化课9 第1课时 最值、范围、证明问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1课时　最值、范围、证明问题 圆锥曲线中的最值、范围问题及证明问题是高考考查的重点与热点，最值、范围问题常常通过可以建立目标函数，通过研究函数的性质求解，也利用三角函数有界性求解，还可以数形结合利用几何性质求解． 　 　　最值问题 ►[命题点1]　代数法求最值　 [例1]　(2022·浙江卷)如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． [解]　(1)设M(2cos θ，sin θ)是椭圆上任意一点，P(0,1)，则|PM|2＝12cos2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin2θ－2sin θ＝－112＋≤，当且仅当sin θ＝－时取等号，故|PM|的最大值是. (2)设直线AB：y＝kx＋，直线AB方程与椭圆＋y2＝1联立，可得x2＋kx－＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 因为直线PA：y＝x＋1与直线y＝－x＋3交于C， 则xC＝＝，同理可得，xD＝＝. 则|CD|＝|xC－xD| ＝ ＝2 ＝2 ＝·＝·≥×＝， 当且仅当k＝时取等号，故|CD|的最小值为. ►[命题点2]　几何法求最值　 [例2]　(2023·全国模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l交椭圆C于A，B(A，B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为－，求点P到直线l距离的最大值． [解]　(1)由题意可得P，∴由题意可得且c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝3， ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)法一：由(1)可得P， 当直线l没有斜率时，设方程为：x＝m(m≠1)，则A(m，y0)，B(m，－y0)，此时kPA·kPB＝·＝－，化简得：y＝＋(1－m)2，又＋＝1，解得m＝或m＝1(舍去)，此时P到直线l的距离为， 设直线l有斜率时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设其方程为：y＝kx＋m，联立，整理可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， Δ＝64m2k2－4·(4k2＋3)·(4m2－12)＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝， kPA·kPB＝·＝－，整理可得：＝－(x1－1)(x2－1)， 整理可得x1x2＋(x1＋x2)＋2＋＝0，整理可得2k2＋4m2－3m＋6km－＝0，即(2k＋4m＋3)＝0，k＋m－＝0或2k＋4m＋3＝0， 若k＋m－＝0，则直线方程为y－＝k(x－1)，直线恒过N，与P点重合， 若2k＋4m＋3＝0，则直线方程为y＋＝k，∴直线恒过定点Q，∴点P到直线l的距离的最大值为 |PQ|的值为＝， 由于＞， ∴点P到直线l距离的最大值. 法二：公共点P，左移1个单位，下移个单位，， 3x2＋6x＋4(y2＋3y)＝0， 4y2＋3x2＋6(x＋2y)(mx＋ny)＝0， (12n＋4)y2＋6(2m＋n)xy＋(6m＋3)x2＝0，等式两边同时除以x2，(12n＋4)·2＋6(2m＋n)＋(6m＋3)＝0，kPA·kPB＝－，＝－，－m－n＝1， mx＋ny＝1过，右移1个单位，上移个单位，过Q，∴P到直线l的距离的最大值为|PQ|的值为 ＝，由于＞， ∴点P到直线l距离的最大值. ◆[通技法]　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、基本不等式法、配方法及导数法求解不等进行求解． 1．(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 解：(1)如图，由已知xM＝p，|MF|＝3＝xM＋， 所以p＝2，抛物线C的方程y2＝4x. (2)令kMN＝k1＝tan α，kAB＝k2＝tan β，tan(α－β)＝. 令M(x1，y1)，N(x2，y2)，(y1＞0，y2＜0)A(x3，y3)，B(x4，y4)(y