第八章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 ★[课程标准] 1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想． 　直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1 的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 　无公共点　 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 　一个交点　 a≠0 Δ>0 两个　不等　的解 　两个交点　 Δ＝0 两个相等的解 　一个切点　 Δ<0 无实数解 无公共点 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 　　 1．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ ·＝·|y1－y2|＝ ·.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． 2．中点弦的重要结论 AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)． (1)斜率：k＝－. (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－ ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式Δ＝0.(　　) (2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　) (4)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(　　) (5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式Δ＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．] 2．过P(0,2)且与双曲线2x2－y2＝1有且只有一个公共点的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：D　[当斜率不存在时，过P的直线与双曲线没有公共点； 当斜率存在时，设直线为y＝kx＋2，联立，得(2－k2)x2－4kx－5＝0①. 当2－k2＝0，即k＝±时，①式只有一个解； 当2－k2≠0，则Δ＝16k2＋20(2－k2)＝0，解得k＝±； 综上可知过P(0,2)且与双曲线2x2－y2＝1有且只有一个公共点的直线有4条．] 3．(忽视双曲线的双支致误)若过原点的直线l与双曲线－＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A.　 B. C. D.∪ 解析：B　[因为－＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－，k2＝，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是∪，即.] 4．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交于C于A，B两点，A在x轴上方，则＝(　　) A．3＋2 B．1＋ C．8 D．2 解析：A　[由题意可知F(1,0)，所以直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程可得x2－6x＋1＝0， 解得xA＝3＋2，xB＝3－2，所以＝＝＝＝＝3＋2.] 5．已知直线3x－y＋2＝0与椭圆＋＝1相交于M，N两点，则MN的长为　________　. 解析：联立方程得37x2＋48x＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝0， 因为斜率k＝3，|MN|＝|x1－x2| ＝＝. 答案： 　 　　直线与圆锥曲线的位置关系 1．(2023·四川南部县模拟)过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有　________　条(　　) A．1　　 B．2　 C．3　　 D．4 解析：C　[当直线l斜率不存在时，l：x＝3，与抛物线无交点，不合题意； 当直线l斜率为零时，l：y＝1，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意； 当直线l斜率不为零时，x－3＝(y－1)，即x＝(y－1)＋3， 由得：ky2＋4y＋12k－4＝0， 则Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝， ∴满足题意的直线l有两条； 综上所述：过点P(3,1)与抛物线y2＝－4x只有一个交点的直线l有3条．故选C.] 2．(2023·江西新钢中学月考)直线y＝kx(k＞0)与双曲线－＝1没有交点，则k的取值范围为(