第八章 第6节 双曲线-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第6节　双曲线 ★[课程标准] 1．了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 1．双曲线的概念 定义 平面内到两个定点F1，F2的　距离之差的绝对值　等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个　定点　F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的　距离　叫作双曲线的焦距 集合 语言 P＝{M|　||MF1|－|MF2||＝2a　，0<2a<|F1F2|} 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当a>c时，P点的轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：　坐标轴　；对称中心：　原点　 顶点 顶点坐标：A1　(－a,0)　，A2　(a,0)　 顶点坐标：A1　(0，－a)　， A2　(0，a)　 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈　(1，＋∞)　，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝　2a　； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝　2b　； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝　a2＋b2　(c>a>0，c>b>0) 　　 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. (5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差等于4的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．(　　) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　) (4)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) (5)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　) (6)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．若点P是双曲线C1：－＝1上一点，F1，F2分别为C1的左、右焦点，则“|PF2|＝5”是“|PF1|＝9”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由题意可知，a＝2，c＝＝4，|PF1|≥c－a＝2， 若|PF2|＝5，则||PF1|－5|＝4，|PF1|＝9或1(舍去)， 若|PF1|＝9，|9－|PF2||＝4，|PF2|＝5或13， 故“|PF2|＝5”是“|PF1|＝9”的充分不必要条件．故选A.] 2．(忽视焦点的位置致误)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(，)，则该双曲线的离心率为(　　) A．2　　 B.　 C．3　　 D. 解析：A　[双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x过第一象限，所以点(，)在渐近线y＝x上，可得＝×，所以＝， 所以e＝＝＝＝＝2.] 3．双曲线－＝1的离心率为，且过A(4,4)，则双曲线方程为(　　) A．x2－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：D　[由双曲线离心率为，得＝5，所以＝5，所以b2＝4a2， 所以双曲线方程为－＝1，将A(4,4)代入－＝1得－＝1，∴a2＝4. 所以双曲线的方程为－＝1.] 4．(2022·全国甲卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值　________　. 解析：因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 要使直线y＝2x与C无公共点，则只需要2＞即