03 数列综合 小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项 2．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且，则的最大值为 3．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Sn。 5．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N＋)。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设,令Tn＝＋＋…＋，求Tn。 6．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项。 (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和。 参考答案： 1. 13 提示：由已知得， ①+②得，(关注下标，就知道将两式相加能得到什么。) 3(a1＋an)＝180，所以a1＋an＝60， 2．3 提示：由“”得，， ∴n>1时， ∴, 又∵, （分离常数是常用方法） ∴n=2时，的值最大，最大值为3。 （关键是想到数列的前n项和与第n项关系这个基础知识） 3．(1) an＝3n;(2) bn＝2n－1－3n－1. 提示：(2)由已知得，,将所an＝3n代入， bn＝2n－1－3n－1， 所以, 4.提示：∵ ∴ ∴ 整理，……① 数列{an}的前n项和为Sn，∴an+1=Sn+1- Sn代入① 整理， ∴ 5．(1) (2) 提示：(1)利用前n项和与第n项关系。(2)∴ ， ∴(裂项求和的典型问题) 6．(1)-2;(2). 提示：(2){n}是等差数列，{an}是等比数列，∴求{nan}的前n项和是适合“错位相减法”的典型题。附2给出了较详细的解答。 附1： “记住基础知识”的含义 对目标为及格的学生来说，做到“记住基础知识”离及格就很近了。 下面以“错位相减法”为例解释“记住基础知识”的含义 首先，“错位相减法”是用来求某类数列和的一种方法。 这类数列是{},其中，数列{}是等差数列，数列{}是等比数列。 其次，“错位相减法”的步骤： 第一步，写出前n项和； 第二步，将所列前n项和两边同乘公比； 第三步，将所得上下两式错位相减；即上式第2项减去下式第1项，上式第3项减去下式第2项，…上式第n项减去下式第n-1项,下式的最后一项无被减项； 第四步，将所得式子中能用等比数列求和的部分用公式求和； 第五步，整理。 所说的“记住基础知识”是指上面从首先到最后第五步整理。都要记住。这个记住当然不是一字不差，重要的是意思不能错。比如，同乘公比中公比是等比数列{}的公比，一定要上式减下式，一定要错位。最后一项无被减项也不要弄错。另外，这个方法叫“错位相减法”的名字也要记住。只有这些都记住了才叫“记住基础知识” 附2： “用基础知识做题”举例 以第6题为例。该题的第(2)问刚好可用“错位相减法”求和。 6．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项。 (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和。 第(1)问已经求得，公比是-2，所以，an=(-2)n-1 我们知道，数列{n}是等差数列，{an}是等比数列，所以求数列{nan}的前n项和可以用“错位相减法” 很多的同学是不能够做对的！你自己不妨先做一下。再比对一下。 设数列{nan}的前n项和为 则， ∴ ①-②得， ∴……③ ∴……④ ∴……⑤ 上面的①是第一步；②是第二步；①-②得，是第三步；第三步的③有时不是等比数列的前n项和；④是第四步的结果；⑤是第五步。 如果你做对了，那么恭喜你！如果你没有做对，那么也要恭喜你。因为你获得一次更正的机会。请抓住它！ 看到了，“记住基础知识”和“用基础知识做题”说着容易，行动起来还是会有困难的。但只要坚持下去。及格会很快来到！ 我一直希望同学们能把数学及格这件事牢牢地掌握在自己手里！ “记住基础知识，用基础知识做题”才有希望！ 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $