05 向量法求二面角 小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习题 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1-A1C-C1的大小为________。 2.如图，已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A,B)，AD垂直PC于D，AE垂直PB于E，则(　　) A．∠ADE为二面角A-PC-B的平面角 B．∠AED为二面角A-PB-C的平面角 C．∠DAE为二面角B-PA-C的平面角 D．∠ACP为二面角A-BC-P的平面角 3.如图⊿BCD与⊿MCD都是边长为的正三角形， 平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB． 求平面与平面所成二面角的正弦值． 4.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,PC=CD=2，E为AB中点，底面四边形ABCD是直角梯形，CD⊥AD,CD⊥CB,AD=1,BC=3． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的正弦值． 5. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC， ∠BAC=90°,F为棱AA1上的动点，A1A=4,AB=AC=2 （1）F为AA1的中点， 求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值； （2）当的值为多少时， 二面角B-FC1-C的大小是． 参考答案： 1. 2.BD 提示：这个题很典型。可以证明AD垂直平面PBC,PB垂直平面ADE。所以B正确，PC与ED不垂直。所以A不正确，另二个选项略。 3.平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．  提示：这个题建系的方法较多。条件平面MCD平面BCD可以想到取CD中点N，连结MN，可以证明MN垂直平面BCD.面面垂直性质定理是必修四的内容。 4.(1)略； (2)直线与平面所成角的正弦值为． (3)二面角的正弦值为．  这个题要做到一次做对，不出现低级错误！ 5．(1)与平面所成角的正弦值为；   (2)时，二面角的大小是  提示：第（2）问可设AF=a，再由二面角B-FC1-C的大小是这个条件求出a. 今天这组题希望能较全面地复习巩固用向量法求直线与平面所成角及二面角。建系，求向量，代公式。三大步！ 附1： “记住基础知识”很重要 对目标为及格的学生来说，做到“记住基础知识”离及格就很近了。 以下面这个例子进行一下说明。 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ；；与垂直．求向量的坐标； 正确解答本题所用高中基础知识: 设向量则 (1),(2),(3) 这三个公式必须都记住才有可能正确解答这个问题。注意是可能，因为后面还要求计算准确。如果你说记住才是有可能正确解答这个问题，我什么要记住公式呢！我告诉你，如果你不记住，那么你正确解答这个题的可能性都没有！ 解：设，则 能列出三个方程，说明前面三个公式记住了。方程③是公式(2)(3)相结合。 下面要解这个方程。 我们最会解的是一元一次方程和一元二次方程。这个是三元方程。显然是要把三元方程变为一元方程。先变为二元，再变一元。（这段就是分析、思考、思路） 观察这三个方程，发现由方程③可得z=x代入①②， 将④代入⑤解得，x=2或-2 ∴x=2,y=-1,z=2或x=-2,y=-1,z=-2 ∴或。 看到了，“记住基础知识”很重要！ 我一直希望同学们能把数学及格这件事牢牢地掌握在自己手里！ “记住基础知识”才有希望！ 附2： “用基础知识做题”的含义 细心的学生会发现文件有页眉“记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误”，前面我们讲了“记住基础知识”很重要，今天结合例子讲一下“用基础知识做题”的含义 题目：已知空间的一个基底，，，若，共线，则     ，      ． 题目中条件“若，共线，”可以想到相关基础知识，“非零向量和向量共线的充要条件是存在实数λ，使得”(这是由题目中信息联想相关知识)。 所以，存在实数k,使得, ∴ ∴ 已知是空间的一个基底， ∴……(I) 关键的地方到了！列出(I)的三个方程的依据是什么。假如你的回答是老师（或教材或教辅或其它）就是这么讲的。那么你做题就不是用基础知识，而是模仿。 基础知识告诉我们，已知是空间的一个基底，所以向量是不共面向量，空间向量基本定理告诉我们，空间任何向量都可以用向量线性表达，而且表达结果唯一。向量和向量都用向量线性表达，等式，说明这两个向量是相等的，即同一个向量，于是表达结果是唯一的，所以列出(I) 你感受到了吗？这是“用基础知识做题”！ 我希望你在解答题目过程中，每一步骤都清楚所用的基础知识。这样你就会觉得很明白。你的解答正确与否能够心中有数。想做到这样必须先记住基础知识。 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $