第40期 导数-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 定义是分析问题、解决问题的重要依据，只有真正 掌握定义的本质属性，把握住其内涵和外延，才能灵活 地运用定义进行解题，而导数的定义不仅明确求解导数 的三部曲，即求函数的增量，求平均变化率，取极限得导 数，而且还为我们解决有关问题提供新的思路，请看以 下几例． 一、求值 例１已知ｆ′（ｘ０）＝４，则ｌｉｍｋ→０ ｆ（ｘ０－ｋ）－ｆ（ｘ０） ２ｋ ＝ ． 分析：首先将所求式子等价转化为导数定义的结构 形式，借助于导数的定义求解． 解：原式＝－１２ｌｉｍｋ→０ ｆ（ｘ０＋（－ｋ））－ｆ（ｘ０） （－ｋ） ＝－１２ｆ′（ｘ０） ＝－２． 点评：紧扣 ｆ（ｘ）在 ｘ＝ｘ０处的定义式 ｆ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ，将所给的式子进行等价转化， 是解决本题的关键． 二、求瞬时速度 例２有一机器人的运行方程为Ｓ＝ｔ２＋３ｔ（ｔ是时 间，Ｓ是位移），则该机器人在时刻ｔ＝２时的瞬时速度为 （　　） （Ａ）１９４　　　（Ｂ） １７ ４　　　（Ｃ） １５ ４　　　（Ｄ） １３ ４ 分析：首先对Ｓ＝ｔ２＋３ｔ求导，然后根据瞬时速度 的概念求解． 解：因为Ｓ＝ｔ２＋３ｔ， 所以Ｓ′（ｔ）＝ｌｉｍ Δｔ→０ （ｔ＋Δｔ）２＋ ３ｔ＋Δｔ －ｔ２－３ｔ Δｔ ＝２ｔ－３ ｔ２ ， 所以机器人在时刻ｔ＝２时的瞬时速度为Ｓ′（２）＝ ４－３４ ＝ １３ ４．故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查导数在物理中的应用，解决此 类问题的关键是熟练掌握在某一时刻的瞬时速度，即为 其导数在这一时刻的导数值． 三、确定范围 例３若函数ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋ｘ在［２，２＋Δｘ］（Δｘ＞０） 上的平均变化率不大于 －１，求Δｘ的范围． 分析：欲求自变量的改变量Δｘ的范围，需根据题设 中的不等关系构造关于 Δｘ的不等式，为此需先求出函 数ｆ（ｘ）在［２，２＋Δｘ］上的平均变化率． 解：因为函数ｆ（ｘ）在［２，２＋Δｘ］上的平均变化率 为 Δｙ Δｘ ＝ｆ（２＋Δｘ）－ｆ（２） Δｘ ＝－（２＋Δｘ） ２＋（２＋Δｘ）－（－４＋２） Δｘ ＝－４Δｘ－（Δｘ） ２＋Δｘ Δｘ ＝－３－Δｘ， 所以由 －３－Δｘ≤－１，得Δｘ≥－２． 又因为Δｘ＞０，即Δｘ的取值范围是（０，＋∞）． 点评：有关自变量改变量Δｘ或因变量改变量Δｙ范 围的求解，常常构造不等式，借助于不等式求解． 书 １．自变量从ｘ０变到ｘ１时，函数值的增量与相应自变 量的增量之比是函数 （　　） （Ａ）在区间［ｘ０，ｘ１］内的平均变化率 （Ｂ）在ｘ０处的变化率 （Ｃ）在ｘ１处的变化率 （Ｄ）在区间［ｘ０，ｘ１］内的导数 ２．函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的导数定义中，自变量 在ｘ＝ｘ０处的增量Δｘ （　　） （Ａ）大于０　　　　　（Ｂ）小于０ （Ｃ）等于０ （Ｄ）不等于０ ３．在曲线ｙ＝ｘ２＋１的图象上取一点（１，２）及邻近 一点（１＋Δｘ，２＋Δｙ），则ΔｙΔｘ 等于 （　　） （Ａ）Δｘ＋１Δｘ ＋２ （Ｂ）Δｘ－１Δｘ －２ （Ｃ）Δｘ＋２ （Ｄ）Δｘ－１Δｘ ＋２ ４．已知点 Ｐ（１，２）是曲线 ｙ＝２ｘ２上一点，则函数 ｙ＝２ｘ２在点Ｐ处的瞬时变化率为＿＿＿＿＿＿＿＿． ５．一物体的运动方程是ｓ＝２ｔ２，则从２到２＋Δｔ这 段时间内位移的增量Δｓ为 ． ６．求函数ｙ＝ｘ２－２ｘ＋３在ｘ＝－２附近的平均变化 率． １．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的导数ｆ′（１）＜０， 则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在点（１，ｆ（１））处的切线方程的 倾斜角为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）钝角 （Ｂ）锐角 （Ｃ）零度角 （Ｄ）直角 ２．已知ｆ′（ｘ）是ｆ（ｘ）的导函数，ｆ′（ｘ）的图象如图１ 所示，则ｆ（ｘ）的图象只可能是 （　　） ３． 设 函 数 ｆ（ｘ） 存 在 导 数 且 满 足 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（２）－ｆ（２－３Δｘ） ３Δｘ ＝２，则曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）在点（２， ｆ（２））处的切线斜率为 （　　） （Ａ）－１　　 （Ｂ）－２　　 （Ｃ）１　　 （Ｄ）２ ４．如图２，函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在 点Ｐ处的切线方程是 ｙ＝－ｘ＋８，则 ｆ（５）＋ｆ′（５）＝ ． ５．已知曲线 ｙ＝ １ｘ，则曲线在点 Ｐ（１，１）的切线方程是 ． ６．已知函数ｆ（ｘ）＝３ｘ２＋５，求ｆ（ｘ）： （１）从０．１到０２的平均变化率； （２）在０２处的瞬时变化率                                               ． 书 一、导数定义的理解出错 例１若ｆ′（ｘ０）＝－３，则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ 的值为 （　　） （Ａ）－