第42期 5.3简单的轴对称图形 5.4利用轴对称进行设计（答案见下期）-【数理报】2022-2023学年七年级下册初一数学同步学案（北师大版）

书 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰 三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相 互重合． 该性质其实包括以下三方面的内容： 如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， Ｄ是ＢＣ上的一点． （１）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底 边ＢＣ上的中线，那么ＡＤ是顶角 ∠ＢＡＣ的平分线，也是底边 ＢＣ 上的高． （２）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ顶角∠ＢＡＣ的平分线，那 么ＡＤ是底边ＢＣ上的中线，也是底边ＢＣ上的高． （３）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的高，那么ＡＤ 是顶角∠ＢＡＣ的平分线，也是底边ＢＣ上的中线． “三线合一”的性质给我们提供了说明角相等、直 线垂直、线段相等的新思想和新方法．在解答一些与图 形有关的问题时，要注意灵活运用它，下面举例来说明 这一性质的重要应用． 例　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若ＤＥ＝２．５ｃｍ， 则ＢＦ＝ ｃｍ． 分析：根据等腰三角形的“三 线合一”得出ＢＤ＝ＣＤ．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ＡＢ· ＤＥ．又Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ，将ＡＣ＝ ＡＢ代入即可求出ＢＦ． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ ＢＣ，所以 ＢＤ＝ＣＤ．所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝２．５ＡＢ．又因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ＡＣ·ＢＦ，所以 １ ２ＡＣ·ＢＦ＝２．５ＡＢ．因为ＡＣ＝ＡＢ， 所以 １ ２ＢＦ＝２．５．所以ＢＦ＝５ｃｍ．故填５． 如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线． 已知∠ＢＡＤ＝６０°，则∠Ｃ＝ ． 书 建筑物的选址问题本 质上就是确定点的位置， 由于选址要求不同，确定 点的位置的方法也不同， 本文将这类问题整理分析 如下，供同学们参考． 一、运用线段垂直平 分线的性质确定 例１　如图１，有Ａ，Ｂ， Ｃ三个居民小区的位置成 三角形，现决定在三个小 区之间修建一个购物超 市，使超市到三个小区的 距离相等，请你作出超市Ｐ 的位置． 分析：要作的点Ｐ必须满足条件ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，故 点Ｐ必须分别满足条件ＰＡ＝ＰＢ和ＰＢ＝ＰＣ．当点Ｐ在 线段ＡＢ的垂直平分线上时，ＰＡ＝ＰＢ；当点 Ｐ在线段 ＢＣ的垂直平分线上时，ＰＢ＝ＰＣ．所以线段ＡＢ的垂直 平分线和线段ＢＣ的垂直平分线 的交点即为点Ｐ的位置． 解：如图２，分别作线段 ＡＢ 的垂直平分线ｌ１，线段ＢＣ的垂直 平分线ｌ２，则ｌ１，ｌ２的交点即为超 市Ｐ的位置． 二、运用角的平分线的性质确定 例２　将例１中的使“超市到三个小区的距离相 等”改为“到三条街道ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的距离相等”，请你作 出超市Ｐ的位置． 分析：要作的点Ｐ必须满足的条件是到 △ＡＢＣ的 三边的距离相等，故点 Ｐ到 ＡＢ，ＢＣ的距离相等且到 ＡＣ，ＢＣ的距离相等．当点Ｐ在∠ＡＢＣ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＢ，ＢＣ的距离相等；当点Ｐ在∠ＡＣＢ的平分线上 时，点Ｐ到ＡＣ，ＢＣ的距离相等．所以点Ｐ在 ∠ＡＢＣ和 ∠ＡＣＢ的平分线的交点处． 解：如图３，分别作 ∠ＡＢＣ的 平分线 ＢＥ，∠ＡＣＢ的平分线 ＣＦ， 则ＢＥ，ＣＦ的交点即为超市Ｐ的位 置． 三、联用线段垂直平分线的性质和角的平分线的 性质确定 例３　如图４，有Ａ，Ｂ，Ｃ三个居民小区，现决定在 三个小区之间修建一个购物超市，使超市到两条街道 ＡＤ，ＡＥ的距离相等，且到 Ｂ，Ｃ两个居民小区的距离也 相等，请你作出超市Ｐ的位置． 分析：由已知得，点Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等且到点 Ｂ，Ｃ的距离也相等．当点Ｐ在∠ＤＡＥ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等；当点Ｐ在线段ＢＣ的垂直平分 线上时，点Ｐ到点Ｂ，Ｃ的距离相等．所以点Ｐ在∠ＤＡＥ 的平分线和线段 ＢＣ的垂直平分 线的交点处． 解：如图５，连接ＣＢ．作∠ＤＡＥ 的平分线ＡＦ，线段ＢＣ的垂直平分 线ＧＨ，则ＡＦ，ＧＨ的交点即为超市 Ｐ的位置． 书 上期２版 ５．１轴对称现象 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．一定，不一定； ５．③；　６．３． ７．略． ８．答案不惟一，如下图所示： ５．２探索轴对称的性质 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ｃ； ５．８；　６．１３５°． ７．图略． ８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ与四边形ＥＦＧＨ关于直线 ＭＮ对称，所以ＡＢ＝ＥＦ＝５ｃｍ，ＥＨ＝ＡＤ＝４ｃｍ． （２）ＡＥ∥ＤＨ．理由如下： 因为点Ａ，Ｅ关于直线ＭＮ对称，点Ｄ，Ｈ关于直线ＭＮ 对称，所以ＭＮ⊥ＡＥ，ＭＮ⊥ＤＨ．所以ＡＥ∥ＤＨ． ９．（１）因为△ＡＢＣ中点Ａ，Ｂ，Ｃ关于直线ＭＮ的对称 点分别为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，ＡＣ＝８ｃｍ，Ａ′Ｃ＝１２ｃｍ， 所以ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′＝ＡＣ＝８ｃｍ． 所以△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长为：Ａ′Ｃ′＋Ｂ′Ｃ′＋Ａ′Ｂ′＝Ａ′Ｃ＋ Ａ