第38期 4.2图形的全等 4.3探索三角形全等的条件（答案见下期）-【数理报】2022-2023学年七年级下册初一数学同步学案（北师大版）

书 （上接４版参考答案） １８．（１）由对顶角 相 等， 得 ∠ＧＨＭ ＝ ∠ＤＨＦ＝３０°．因为∠Ｇ ＝３０°，所以 ∠ＧＭＨ＝ １８０°－∠Ｇ－∠ＧＨＭ＝ １２０°．由对顶角相等，得 ∠ＣＭＥ ＝ ∠ＧＭＨ ＝ １２０°．因为ＡＢ∥ＣＤ，所 以 ∠ＡＥＭ ＝ １８０°－ ∠ＣＭＥ＝６０°． （２）因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以∠ＢＰＦ＝∠ＤＨＦ＝ ７５°．所以∠ＮＰＦ＝１８０°－ ∠ＢＰＦ ＝ １０５°． 因 为 ∠ＦＥＧ＝９５°，∠Ｇ＝３０°， 所以∠Ｆ＝１８０°－∠ＦＥＧ －∠Ｇ＝５５°．所以∠ＦＮＰ ＝１８０°－∠ＮＰＦ－∠Ｆ＝ ２０°．由对顶角相等，得 ∠ＡＮＥ＝∠ＦＮＰ＝２０°． 附加题 １．如图１，连接ＡＣ， ＢＤ，其交点即为Ｈ的位 置．理由如下： 任选 Ｈ′点，连接 Ｈ′Ａ，Ｈ′Ｂ，Ｈ′Ｃ，Ｈ′Ｄ，由 三角形三边关系知，ＨＡ ＋ＨＢ＋ＨＣ＋ＨＤ＝ＡＣ ＋ＢＤ ＜Ｈ′Ａ＋Ｈ′Ｃ＋ Ｈ′Ｂ＋Ｈ′Ｄ． ２．当 交 点 Ｏ在 △ＡＢＣ内部时，如图２， ∠ＢＯＣ＝１４０°； 当交点Ｏ在△ＡＢＣ 外部时（∠ＡＢＣ或∠ＡＣＢ 为钝角），如图３，∠ＢＯＣ ＝４０°． （全文完） ! " #! # $ % ! ! " & ' ! ( % ! " ' & " % ( ! ! # 书 一、单向运动 例１　如图１，在正 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝８，Ｄ为边 ＢＣ上一点， 且ＢＤ＝６．动点Ｐ从点Ｃ出发沿 ＣＡ边以每秒２个单位的速度向 点Ａ运动，连接 ＡＤ，ＢＰ，设点 Ｐ 运动的时间为 ｔ秒．当 ｔ的值为 时，△ＡＢＤ和△ＢＡＰ全等． 解：因为△ＡＢＣ是正三角形，ＡＢ＝８，所以ＡＣ＝８， ∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＰ． 因为△ＡＢＤ和△ＢＡＰ全等，所以ＢＤ＝ＡＰ＝６． 所以ＣＰ＝ＡＣ－ＡＰ＝２． 所以ｔ＝２÷２＝１． 故填１． 例２　如图２，ＡＢ＝４ｃｍ， ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ，∠Ａ＝∠Ｂ，点 Ｐ在线段ＡＢ上以１ｃｍ／ｓ的速度 由点Ａ向点 Ｂ运动，同时，点 Ｑ 在线段 ＢＤ上由点 Ｂ向点 Ｄ运 动．设运动时间为ｔｓ，当点Ｑ的 运动速度为 ｃｍ／ｓ时，△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等． 解：设点Ｑ的运动速度是ｘｃｍ／ｓ． 因为∠Ａ＝∠Ｂ，所以△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等有两种 情况： ①ＡＰ＝ＢＰ，ＡＣ＝ＢＱ＝３，则ｔ＝１２×４÷１＝２， 所以ｘ＝３÷２＝１．５； ②ＡＰ＝ＢＱ，ＡＣ＝ＢＰ＝３，则ｔ＝（４－３）÷１＝１， 所以ｘ＝１÷１＝１． 故填１．５或１． 二、往返运动 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝８ｃｍ，ＡＧ∥ ＢＣ，ＡＧ ＝ ８ｃｍ，点Ｆ从点Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以４ｃｍ／ｓ的速度连续做往返 运动，点Ｅ从点Ａ出发沿线段ＡＧ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动至点Ｇ，Ｅ，Ｆ两点同时出发，当点Ｅ 到达点Ｇ时，Ｅ，Ｆ两点同时停止运动，ＥＦ与 ＡＣ交于点 Ｄ，设点Ｅ的运动时间为 ｔ秒，当 ｔ的值为 时， △ＡＤＥ≌△ＣＤＦ． 解：点Ａ到达点Ｇ所用的时间是：８÷２＝４（ｓ）． 点Ｆ到达点Ｃ所用的时间是：８÷４＝２（ｓ）． 因为△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ，所以ＡＥ＝ＣＦ． ①当点Ｆ从点Ｂ运动至点Ｃ时，０＜ｔ≤２，８－４ｔ＝ ２ｔ，解得ｔ＝ ４３； ②当点Ｆ从点Ｃ返回至点Ｂ时，２＜ｔ≤４，４ｔ－８＝ ２ｔ，解得ｔ＝４． 故填 ４ ３或４． 书 问题：如图 １，已知 ＡＣ∥ ＢＤ，ＡＥ，ＢＥ分别平分 ∠ＣＡＢ， ∠ＤＢＡ，且ＣＤ经过点 Ｅ，试判断 ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系，并说 明理由． 方法一：截长法 思路分析：在线段ＡＢ上截取ＡＦ＝ＡＣ，连接ＥＦ，根 据“ＳＡＳ”可得△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ，则∠Ｃ＝∠ＡＦＥ，从而得 出∠ＥＦＢ＝∠Ｄ．根据“ＡＡＳ”可得△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ，则 ＢＦ＝ＢＤ，从而得到ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如 下： 如图２，在 ＡＢ上截取 ＡＦ＝ ＡＣ，连接ＥＦ． 因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ． 在△ＣＡＥ和 △ＦＡＥ中，因为 ＡＣ＝ＡＦ，∠ＣＡＥ＝ ∠ＦＡＥ，ＡＥ＝ＡＥ，所以△ＣＡＥ≌△ＦＡＥ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｃ＝∠ＡＦＥ． 因为ＡＣ∥ＢＤ，所以∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°． 因为∠ＥＦＢ＋∠ＡＦＥ＝１８０°，所以∠ＥＦＢ＝∠Ｄ． 因为ＢＥ平分∠ＤＢＡ，所以∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＢＥＦ和△ＢＥＤ中，因为∠ＥＦＢ＝∠Ｄ，∠ＦＢＥ ＝∠ＤＢＥ，ＢＥ＝ＢＥ，所以△ＢＥＦ≌△ＢＥＤ（ＡＡＳ）． 所以ＢＦ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ， 所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 方法二：补短法 思路分析：延长ＡＣ到点Ｆ，使ＡＦ＝ＡＢ，连接ＥＦ．根 据“ＳＡＳ”可得△ＡＥＦ≌△ＡＥＢ，则∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ＝ ＥＢ．再根据“ＡＡＳ”可得△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ，则ＦＣ＝ＢＤ， 从而得出ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系． 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如下： 如图３，延长ＡＣ至