第42期 4.5一次函数的应用（答案见下期）-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（湘教版）

书 所谓最佳方案问题就是指在某一问题中，符合条件 的方案有多种，要求同学们利用数学知识经过分析、猜 想、判断，从而筛选出最佳方案．此类问题中常常出现路 程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函 数、不等式、方程等知识联系在一起．解答的关键是要学 会运用数学知识，通过观察、分析、概括所给的实际问 题，将其转化为函数模型． 建立函数模型的基本步骤为： （１）阅读理解，找出关键词、句，理解其意义； （２）建模，即建立实际问题的数学模型，将其转化 成数学问题； （３）运算，运用恰当的数学方法去解决已建立的数 学模型； （４）综合分析、比较，选出最佳方案，从而写出答案． 例１　（２０２２通辽）为落实“双减”政策，丰富课后 服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买 一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价８．５折出售； 乙：一次购买商品总额不超过３００元的按原价付费， 超过３００元的部分打７折． 设需要购买体育用品的原价总额为 ｘ元，去甲商店 购买实付ｙ甲 元，去乙商店购买实付 ｙ乙 元，其函数图象 如图１所示． （１）分别求ｙ甲，ｙ乙 关于ｘ的 函数表达式； （２）两图象交于点Ａ，求点Ａ 的坐标； （３）请根据函数图象，直接 写出选择在哪个体育专卖店购 买体育用品更合算． 解：（１）由题意，得ｙ甲 ＝０．８５ｘ； ｙ乙 ＝ ｘ，０≤ｘ≤３００， ０．７ｘ＋９０，ｘ＞３００{ ． （２）令０．８５ｘ＝０．７ｘ＋９０，解得ｘ＝６００．此时ｙ＝ ５１０．所以点Ａ的坐标为（６００，５１０）． （３）由图象得，当ｘ＜６００时，在甲体育专卖店购买 体育用品更合算；当ｘ＝６００时，在两家体育专卖店购买 体育用品一样合算；当ｘ＞６００时，在乙体育专卖店购买 体育用品更合算． 例２　（２０２２昭通昭阳区模拟）某水果超市每月付 给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图２中的射线ｌ１，射线ｌ２分别表示该水果超市每 月按方案一、方案二付给销售 人员的工资 ｙ１（单位：元）和 ｙ２（单位：元）与其当月水果销 售量ｘ（单位：千克）（ｘ≥０）的 函数关系． （１）分别求ｙ１，ｙ２与ｘ的函 数表达式； （２）若该超市某销售人员今年５月份的水果销售量 没有超过１００千克，但其５月份的工资超过２５００元．请问 该超市采用了哪种方案给这名销售人员付５月份的工资？ 解：（１）设ｙ１＝ｋ１ｘ．根据题意，得４０ｋ１＝１２００．解得 ｋ１ ＝３０．所以ｙ１ ＝３０ｘ（ｘ≥０）． 设ｙ２＝ｋ２ｘ＋ｂ．根据题意，得 ｂ＝８００， ４０ｋ２＋ｂ＝１２００ { ．解 得 ｋ２ ＝１０， ｂ＝８００{ ．所以ｙ２ ＝１０ｘ＋８００（ｘ≥０）． （２）当ｘ＝１００时，ｙ１＝３０×１００＝３０００＞２５００； ｙ２ ＝１０×１００＋８００＝１８００＜２５００．所以这个公司采用 了方案一给这名销售人员付５月份的工资． 书 （上接４版参考答案） １７． （１） 把 （３， －３），（０，１）代入 ｙ＝ ｋｘ ＋ ｂ， 得 ３ｋ＋ｂ＝－３， ｂ＝１{ ． 解 得 ｋ＝－４３， ｂ＝１ { ． 所以直线 ｌ 的 表 达 式 为 ｙ ＝ －４３ｘ＋１． （２）≤ ３４． （３）设原点到直线 ｌ的距离为ｈ．因为ＯＡ＝ ３ ４，ＯＢ＝１，所以ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝ ５４．所 以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＡＢ·ｈ＝ １ ２ＯＡ·ＯＢ，即 １ ２× ５ ４ｈ ＝ １２ × ３ ４ ×１．解得 ｈ ＝ ３５，即原点到直线 ｌ 的距离为 ３ ５． １８．（１）设ｙ１关于ｘ 的函数表达式为 ｙ１ ＝ ａｘ．将点（１０，６００）代 入，得１０ａ＝６００．解得ａ ＝６０．所以ｙ１关于ｘ的 函数表达式为 ｙ１ ＝ ６０ｘ（０≤ｘ≤１０）．设ｙ２ 关于ｘ的函数表达式为 ｙ２ ＝ｋｘ＋ｂ．将点（０， ６００），（６，０）代入，得 ｂ＝６００， ６ｋ＋ｂ＝０{ ． 解 得 ｋ＝－１００， ｂ＝６００{ ．所以 ｙ２关 于ｘ的函数表达式为ｙ２ ＝－１００ｘ＋６００（０≤ ｘ ≤６）． （２）当两车相遇 时，ｙ１ ＝ｙ２，即 ６０ｘ＝ －１００ｘ＋６００．解得ｘ＝ （下转２，３版中缝） 书 上期２版 ４．２一次函数 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．－２；　４．－１． ５．根据题意，得ｙ＝（４＋０．１）ｘ＝４．１ｘ．所以ｙ是ｘ 的一次函数． ６．根据题意，得ｙ＝８０－５ｘ．该函数属于一次函数． 因为ｙ≥０，所以８０－５ｘ≥０．解得ｘ≤１６．因为ｘ≥０， 所以ｘ的取值范围为０≤ｘ≤１６． 能力提高　７．Ａ． ４．３一次函数的图象 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．Ｂ； ５．一；　６．ｙ＝ ３４ｘ＋５． ７．图略． ８．（１）对于ｙ