第44期 20.2.2数据的离散程度20.3综合与实践体重指数 数据的初步分析章节检测卷-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 方差是反映一组数据波动大小的统计量，即数据离 散程度的一个统计量，方差越小，数据的波动越小，这组 数据就越稳定；反之，方差越大，数据的波动越大，这组 数据就越不稳定．那么方差越小越好吗？现举例进行分 析，供同学们学习时参考． 例１　生物学研究表明，植物光合作用速率越高， 单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种 大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大 豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作 用速率（单位：μｍｏｌ·ｍ－２·ｓ－１），结果统计如下表： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 甲 ３２ ３０ ２５ １８ ２０ 乙 ２８ ２５ ２６ ２４ ２２ 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 解析：直接利用方差公式计算即可得出答案． 甲的平均数为：ｘ甲 ＝ ３２＋３０＋２５＋１８＋２０ ５ ＝２５； 乙的平均数为：ｘ乙 ＝ ２８＋２５＋２６＋２４＋２２ ５ ＝２５． 甲的方差为：ｓ２甲 ＝ １ ５×［（３２－２５） ２＋（３０－２５）２ ＋（２５－２５）２＋（１８－２５）２＋（２０－２５）２］＝２９．６； 乙的方差为：ｓ２乙 ＝ １ ５×［（２８－２５） ２＋（２５－２５）２ ＋（２６－２５）２＋（２４－２５）２＋（２２－２５）２］＝４． 因为２９．６＞４， 所以两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙． 故填乙． 例２　为弘扬泰山文化，我市某校举办了“泰山诗 文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出５名 选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛，两个 队的５名选手的决赛成绩（满分为１００分）如图所示． （１）根据上图填写下表： 平均数 中位数 众数 小学代表队 ８５ 初中代表队 ８５ １００ （２）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表 队选手成绩较为稳定． 解析：（１）根据平均数、众数、中位数的定义解答即 可． 小学代表队选手决赛成绩的平均数为：（７５＋８０＋ ８５＋８５＋１００）÷５＝８５（分）． 小学代表队选手决赛成绩的得分中８５分出现的次 数最多，所以小学代表队选手决赛成绩的众数为８５分． 初中代表队选手的决赛成绩为７０，７５，８０，１００，１００， 则初中代表队选手决赛成绩的中位数为８０分． 故表格从上到下、从左到右依次填入８５，８５，８０． （２）根据方差的定义求出方差，方差越小成绩越稳 定． 小学代表队选手决赛成绩的方差为：ｓ２１ ＝ １ ５ × ［（７５－８５）２＋（８０－８５）２＋（８５－８５）２×２＋（１００－ ８５）２］＝７０； 初中代表队选手决赛成绩的方差为：ｓ２２ ＝ １ ５ × ［（７０－８５）２＋（７５－８５）２＋（８０－８５）２＋（１００－８５）２ ×２］＝１６０． 因为ｓ２１ ＜ｓ ２ ２，所以小学代表队选手的决赛成绩较为 稳定． 已知数据ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的平均数为 ｍ，方差为 ｓ ２，则 数据ｋｘ１＋ｂ，ｋｘ２＋ｂ，…，ｋｘｎ＋ｂ的平均数为 ，方 差为 ． 书 学习了“三数”以及“三差”等统计量，我们可以借助 这些统计量结合统计图综合解决实际问题，这也是近几 年中考的热点内容之一．下面我们选取几例具体说明． 例 １　 某班为了 从甲、乙两名同学中选 出一名同学代表班级 参加学校的投篮比赛， 对甲、乙两人进行了 ５次投篮试投比赛，试 投每人每次投球１０个， 两人５次试投的成绩统计图如图１所示． （１）甲同学５次试投进球个数的众数是多少？ （２）求乙同学５次试投进球个数的平均数． （３）不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名 同学谁的投篮成绩更加稳定？ （４）学校投篮比赛的规则是每人投球１０个，记录投 进球的个数，由往届投篮比赛的结果推测，投进８个球 即可获奖，但要取得冠军需要投进１０个球，请你根据以 上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的 投篮比赛，并说明推荐的理由． 解析：（１）根据众数的定义即可求解． 由图可知：甲同学５次试投进球个数的众数是８个． （２）根据平均数的计算公式即可求解． 乙同学 ５次试投进球个数的平均数为：ｘ乙 ＝ ７＋１０＋６＋７＋１０ ５ ＝８（个）． （３）根据折线统计图的走势作答． 折线统计图中，甲投篮成绩的波动较小，乙投篮成 绩的波动较大，所以甲的投篮成绩更加稳定． （４）利用众数进行决策． 因为乙同学５次试投进球个数的众数是１０个，取得 冠军需要投进１０个球，而甲没有进１０球的可能，所以为 了能获得冠军，推荐乙参加投篮比赛． 例２　“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行 动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级 部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机 抽取１０个班的餐厨垃圾质量（单位：ｋｇ）的数据进行整理 和分析（餐厨垃圾质量用 ｘ表示，共分为四个