第39期 19.3矩形、菱形、正方形（一）-矩形-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 主线一、有一个角是直角的平行四边形是矩形 例 １　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ ＝ＣＤ．求证：四边形 ＡＢＣＤ是矩 形． 分析：连接ＢＤ，根据三角形 全等的判定与性质得到 ＡＤ ＝ ＣＢ，得到四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，根据矩形的判定 定理即可得出结论． 证明：连接ＢＤ，如图１．在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＣＤＢ中， ＢＤ＝ＤＢ， ＡＢ＝ＣＤ{ ，所以Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＣＤＢ（ＨＬ）．所以ＡＤ＝ ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．因为 ∠Ａ＝９０°， 所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 例２　 如图 ２，在 ＡＢＣＤ 中，Ｅ为ＢＣ的中点，连接ＡＥ并延 长交ＤＣ的延长线于点 Ｆ，连接 ＢＦ，ＡＣ．若ＡＤ＝ＡＦ，求证：四边 形ＡＢＦＣ是矩形． 分析：根据平行四边形的性 质得到ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，利用平行线的性质和“ＡＡＳ” 判定△ＡＢＥ≌△ＦＣＥ，从而得到ＡＢ＝ＣＦ，由此可得四 边形ＡＢＦＣ是平行四边形，ＢＣ＝ＡＦ，根据“对角线相等 的平行四边形是矩形”可得四边形ＡＢＦＣ是矩形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ． 因为Ｅ为ＢＣ的中点，所以ＥＢ＝ＥＣ． 在 △ＡＢＥ和 △ＦＣＥ中， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ， ∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ， ＥＢ＝ＥＣ { ， 所以 △ＡＢＥ≌ △ＦＣＥ（ＡＡＳ）．所以 ＡＢ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＢＦＣ是平行四边形．因为ＡＤ＝ＡＦ，所以ＢＣ＝ＡＦ．所以 四边形ＡＢＦＣ是矩形． 主线三、三个角是直角的四边形是矩形 例３　如图３，在直角三角形ＡＢＣ中，ＡＣ＝２，ＢＣ＝４， Ｐ为斜边ＡＢ上一动点，ＰＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，ＰＦ⊥ＣＡ于点Ｆ，则线段ＥＦ长的最 小值为 （　　） Ａ．槡５　　　　　　　Ｂ．２ Ｃ．４槡５５ Ｄ． ３ ２ 分析：连接ＰＣ，判定四边形 ＥＣＦＰ是矩形，得到 ＥＦ ＝ＰＣ，根据垂线段最短，可得当ＣＰ⊥ＡＢ时，ＰＣ最小，根 据等面积法求得ＰＣ的长，即可得到线段 ＥＦ长的最小 值． 解：连接ＰＣ，如图３．因为ＰＥ⊥ＢＣ，ＰＦ⊥ＣＡ，所以 ∠ＰＥＣ＝∠ＰＦＣ＝９０°． 又因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以四边形ＥＣＦＰ是矩形．所 以ＥＦ＝ＰＣ． 所以当ＰＣ⊥ＡＢ时，ＰＣ的长最小，ＥＦ的长也最小． 因为ＡＣ＝２，ＢＣ＝４， 所以ＡＢ＝ ２２＋４槡 ２ ＝２槡５． 因为 １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＰＣ，所以ＰＣ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝ ４槡５ ５．所以线段ＥＦ长的最小值为 ４槡５ ５． 故选Ｃ． 书 三、１３．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＣＦ， 所以 ＯＡ＋ＡＥ ＝ ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 因为ＢＧ＝ＤＨ， 所以 ＯＢ－ＢＧ ＝ ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ． 所以四边形 ＥＧＦＨ 是平行四边形． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以 ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ． 所 以 ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＤＡＥ． 因为ＡＢ＝ＡＥ， 所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＡＥＢ． 所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ 中，因为 ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ ＝∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １５．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ＡＢ＝４， 所以 ＣＤ ＝ＡＢ＝ ４，ＡＤ∥ＢＣ． 因 为 ∠ＡＣＢ ＝ ３０°， 所 以 ∠ＤＡＣ ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°． 根据折叠的性质， 得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ， ∠ＡＣＤ＝９０°． 所以 ∠Ｄ＝９０°－ ∠ＤＡＣ＝６０°． 所以 △ＡＤＥ是等 边三角形． 所以 ＡＤ ＝ＡＥ＝ ＤＥ＝２ＣＤ＝８． 所以 △ＡＤＥ的周 长为：８×３＝２４． １６．（１）因为ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线， 所 以 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＥＢＤ． 因为ＥＤ∥ＢＣ， 所 以 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＥＤＢ． 书 上期２版 １９．２平行四边形 １９．２．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ． 因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形， 所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°． 所以ＡＢ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ ＋∠ＣＤＦ，即∠ＡＢＥ＝∠ＦＤＡ． 所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（ＳＡＳ）． 所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝ ６０°， 所以ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°． 所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°． 因为ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ， 所以∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°． 所以∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ ＝３０°