第40期 19.3矩形、菱形、正方形（二）-菱形-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 上期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（矩形） １９．３．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．３；　５．５． ６．连接ＯＰ，图略． 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＢ＝３，ＢＣ＝４， 所以ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５，Ｓ△ＡＯＤ ＝ １ ４Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝ １ ４ＡＢ·ＢＣ＝３． 所以ＯＡ＝ＯＤ＝ ５２． 所以Ｓ△ＡＯＤ ＝Ｓ△ＡＯＰ＋Ｓ△ＤＯＰ ＝ １ ２ＯＡ·ＰＥ＋ １ ２ＯＤ· ＰＦ＝ １２ＯＡ·（ＰＥ＋ＰＦ）＝ １ ２× ５ ２（ＰＥ＋ＰＦ）＝３． 所以ＰＥ＋ＰＦ＝１２５． ７．（１）连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，图略． 因为四边形ＡＢＣＤ为矩形， 所以ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＦ＝ＣＥ， 所以ＡＦ－ＯＡ＝ＣＥ－ＯＣ，即ＯＦ＝ＯＥ． 所以四边形ＤＥＢＦ为平行四边形． （２）因为ＤＥ⊥ＡＣ，∠ＡＤＥ＝３０°，ＡＤ＝２， 所以∠ＤＡＥ＝６０°，ＡＥ＝ １２ＡＤ＝１． 所以ＤＥ＝ ＡＤ２－ＡＥ槡 ２ ＝槡３，△ＯＡＤ是等边三角 形． 所以ＯＥ＝ＡＥ＝１． 所以ＥＦ＝２ＯＥ＝２． 所以Ｓ平行四边形ＤＥＢＦ ＝ＤＥ·ＥＦ＝ 槡２３． １９．３．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．ａ２． ４．因为ＯＧ平分∠ＭＯＮ， 所以∠ＭＯＧ＝∠ＮＯＧ． 因为ＡＢ⊥ＯＧ， 所以∠ＡＢＯ＝９０°． 因为Ｃ为线段ＯＡ的中点， 所以ＢＣ＝ １２ＡＯ＝ＣＯ． 所以∠ＣＯＢ＝∠ＣＢＯ． 所以∠ＮＯＧ＝∠ＣＢＯ． 所以ＢＣ∥ＯＮ． １９．３．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．５；　５．１５． ６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ． 因为ＡＦ＝ＣＥ， 所以ＡＢ－ＡＦ＝ＣＤ－ＣＥ，即ＦＢ＝ＥＤ． 所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． 因为ＢＥ⊥ＣＤ， 所以∠ＢＥＤ＝９０°． 所以四边形ＢＥＤＦ是矩形． ７．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为Ｅ，Ｆ分别是ＯＢ，ＯＤ的中点， 所以ＯＥ＝ １２ＯＢ，ＯＦ＝ １ ２ＯＤ． 所以ＯＥ＝ＯＦ． 所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形． 因为ＡＣ⊥ＡＢ，∠ＡＯＢ＝６０°， 所以∠ＡＢＯ＝３０°． 所以ＯＡ＝ １２ＯＢ＝ＯＥ． 所以ＡＣ＝ＥＦ． 所以四边形ＡＥＣＦ为矩形． 能力提高　８．Ｂ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ 二、９．１２；　１０．６５°；　１１．６５°；　１２． 槡２ ３４３ 或 ８ ３． 书 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗入运动变 化观点的一类问题．解决动点问题，有利于发展同学们的 思维，对提高同学们的解题能力也大有益处．这类问题是 通过仔细观察图形，分析、归纳与探究图形的变化规律， 抓住图形运动变化中的不变量和变化规律求解的．现将 与菱形有关的动点问题列举如下，供同学们参考． 例１　如图１，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ＢＣ，ＢＣ ＝１０， ∠ＢＣＤ＝６０°，两顶点 Ｂ，Ｄ分别 在平面直角坐标系的ｙ轴，ｘ轴的 正半轴上滑动，连接ＯＡ，则ＯＡ的 最小值是 ． 分析：推断出 ＯＡ的长最小 时的情况，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形” 判定四边形ＡＢＣＤ是菱形，运用菱形的性质以及等边三 角形的性质可求出ＯＡ的长． 解：过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，连接ＯＥ，如图１．当点 Ａ，Ｏ，Ｅ在同一条直线上时，ＯＡ最短．因为四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，ＡＢ＝ＢＣ，所以四边形 ＡＢＣＤ是菱形．因 为ＢＣ＝１０，∠ＢＣＤ＝６０°，所以ＡＢ＝ＡＤ＝１０，∠ＢＡＤ＝ ６０°．所以△ＡＢＤ是等边三角形．所以ＢＤ＝１０．所以ＤＥ ＝ １２ＢＤ＝５．根据勾股定理，得ＡＥ＝ ＡＤ ２－ＤＥ槡 ２ ＝ 槡５３．因为∠ＢＯＤ＝９０°，ＢＤ＝１０，所以ＥＯ＝５．所以ＯＡ 的最小值为：ＯＡ＝ＡＥ－ＥＯ＝ 槡５３－５． 故填 槡５３－５． 例２　如图２，点 Ｐ，Ｑ分别 是菱形 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ，ＢＣ上的 两个动点．若线段 ＰＱ长的最大 值为 槡８５，最小值为 ８，则菱形 ＡＢＣＤ的边长为 （　　） 槡Ａ．４６　　　Ｂ．１０　　　Ｃ．１２　　　Ｄ．１６ 分析：连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交ＣＢ的延长线于 点Ｅ，由题意可知当点Ｐ与点Ａ重合，点Ｑ与点Ｃ重合时， ＰＱ有最大值，即ＡＣ＝ 槡８５，当ＰＱ⊥ＢＣ时，ＰＱ有最小值， 即直线ＡＤ与直线ＢＣ之间的距离为８，由“平行线间的距 离处处相等”得ＡＥ＝８，再由勾股定理即可求解． 解：连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交ＣＢ的延长线于 点Ｅ，如图２．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ． 因为线段ＰＱ长的最大值为 槡８５，最小值为８，所以ＡＣ＝ 槡