第35期 从力的做功到向量的数量积、平面向量的应用-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） （２０２３ 威 远 中 学 高 一 月 考 ） 设 锐 角 三 角 形 ＡＢＣ 的 内 角 Ａ ，Ｂ ， Ｃ 的 对 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，其 中 ａ ＝ ２ｂｓｉｎ Ａ． （１ ） 求 Ｂ 的 大 小 ． （２ ） 若 ａ ＝ 槡 ３ ３ ，ｃ ＝ ５ ，求 ｂ． ２０． （１２ 分 ） （２０２３ 山 西 运 城 高 一 专 题 练 习 ） 一 架 飞 机 从 Ａ 地 向 北 偏 西 ６０° 的 方 向 飞 行 １ ０００ ｋｍ 到 达 Ｂ 地 ，然 后 向 Ｃ 地 飞 行 ．设 Ｃ 地 恰 好 在 Ａ 地 的 南 偏 西 ６０°，并 且 Ａ ，Ｃ 两 地 相 距 ２ ０００ ｋｍ ，求 飞 机 从 Ｂ 地 到 Ｃ 地 的 位 移 ． ２１． （１２ 分 ） （２０２３ 山 东 枣 庄 第 八 中 学 阶 段 性 检 测 文 科 ） 设 两 个 向 量 ｅ １ ，ｅ ２ ， ｜ ｅ １ ｜ ＝ １ ，｜ ｅ ２ ｜ ＝ １ ，ａ，ｂ 满 足 ａ ＝ ｋｅ １ ＋ ｅ ２ ，ｂ ＝ ｅ １ － ｋｅ ２ ．ｅ １ 与 ｅ ２ 的 数 量 积 用 含 有 ｋ 的 代 数 式 ｆ（ｋ） 表 示 ，且 ｜ ａ ｜ ＝ 槡 ３ ｜ ｂ ｜． （１ ） 求 ｆ（ｋ） ； （ ２ ） 若 ｅ １ 与 ｅ ２ 的 夹 角 为 ６０°，求 ｋ 值 ； （３ ） 若 ａ 与 ｂ 垂 直 ，求 实 数 ｋ 的 值 ． ２２． （１２ 分 ） 如 图 ３ ，在 平 行 四 边 形 ＡＢＣＤ 中 ，∠ ＢＡＤ ＝ π３ ，ＡＢ ＝ ２ ，ＡＤ ＝ １ ，若 Ｍ ，Ｎ 分 别 是 边 ＢＣ ，ＣＤ 上 的 点 ，且 满 足 ＢＭＢＣ ＝ Ｎ Ｃ Ｄ Ｃ ＝ λ ，其 中 λ ∈ ［０ ， １ ］ ，求 →ＡＭ · →ＡＮ 的 取 值 范 围 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( ! " # $ % & ! ! 书 向量的数量积是高中向量重要内容之一，在解向量 数量积时，有些同学不知道如何求解，本文介绍几种求 向量数量积的解法，以供参考． 例１已知平面上三个点 Ａ，Ｂ，Ｃ，满足 →｜ＡＢ｜＝３， →｜ＢＣ｜＝４， →｜ＣＡ｜＝５，则→ＡＢ·→ →ＢＣ＋ＢＣ·→ →ＣＡ＋ＣＡ·→ＡＢ 的值等于 ． 解法一：（应用向量数量积的定义求解） 因为 →｜ＡＢ｜２ →＋｜ＢＣ｜２ →＝｜ＣＡ｜２， 所以∠ＡＢＣ＝９０°， 所以ｃｏｓＡ＝ ３５，ｃｏｓＣ＝ ４ ５，ｃｏｓＢ＝０， 所以 →ＡＢ·→ →ＢＣ＋ＢＣ·→ →ＣＡ＋ＣＡ·→ＡＢ →＝｜ＡＢ｜· →｜ＢＣ｜ｃｏｓ（π－Ｂ） →＋｜ＢＣ｜· →｜ＣＡ｜ｃｏｓ（π －Ｃ） →＋｜ＣＡ｜· →｜ＡＢ｜ｃｏｓ（π－Ａ） ＝３×４×（－ｃｏｓＢ）＋４×５×（－ｃｏｓＣ）＋５×３× （－ｃｏｓＡ） ＝０－４×５×４５－５×３× ３ ５ ＝－２５． 点评：在求向量的数量积时，若已知两向量的模，可 先求出两向量的夹角，再应用向量数量积的运算 ａ·ｂ ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ求解．注意，在解题时要分清是两向量 的夹角，此题中不要把角Ａ看成了→ＣＡ与→ＡＢ的夹角． 解法二：（应用向量线性运算求解） 因为 →｜ＡＢ｜２ →＋｜ＢＣ｜２ →＝｜ＣＡ｜２，所以∠ＡＢＣ＝９０°， 即 →ＡＢ⊥ →ＢＣ，所以→ＡＢ·→ＢＣ＝０， 所以 →ＡＢ·→ →ＢＣ＋ＢＣ·→ →ＣＡ＋ＣＡ·→ＡＢ →＝ＡＢ·→ＢＣ＋（→ →ＢＣ＋ＡＢ）·→ＣＡ →＝ＡＢ·→ →ＢＣ＋ＡＣ·→ＣＡ ＝０＋（ →－ＡＣ）·→ →ＡＣ＝－ＡＣ２ →＝－｜ＡＣ｜２ ＝－２５． 点评：解法中可利用向量的线性运算，进行转换，简 化运算步骤． 例２如图１，已知直角梯形ＡＢＤＣ中，上底ＡＢ＝２， 腰ＡＣ＝１，求→ＢＤ·→ＣＤ的最小值． 解法一：（利用平面向量基 本定理求解） 分别取与 →ＣＤ，→ＣＡ方向相同 的两个单位向量 ｅ１，ｅ２作为基 底， 由题意可得 →ＣＡ＝ｅ２，→ＡＢ＝２ｅ１，→ → →ＣＢ＝ＣＡ＋ＡＢ＝ｅ２ ＋２ｅ１，设 →ＣＤ＝λｅ１， 则可得 → → →ＢＤ＝ＣＤ－ＣＢ＝λｅ１－（２ｅ１＋ｅ２） ＝（λ－２）ｅ１－ｅ２， →ＢＤ·→ＣＤ＝［（λ－２）ｅ１－ｅ２］·λｅ１ ＝λ（λ－２）ｅ２１－λｅ１·ｅ２， 因为ｅ１⊥ｅ２，所以ｅ１·ｅ２ ＝０， 所以 →ＢＤ·→ＣＤ＝λ（λ－２）＝λ２－２λ ＝（λ－１）２－１， 即当λ＝１时，→ＢＤ·→ＣＤ有最小值，最小值为 －１． 点评：利