第40期 复数-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书 一、求解关于复数ｚ的方程 例１已知复数ｚ１ ＝１－ｉ，ｚ１·ｚ２ ＝１＋ｉ，则复数ｚ２ ＝ ． 解析：设ｚ２ ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈ Ｒ），则 ｚ１·ｚ２ ＝（１－ ｉ）（ａ＋ｂｉ）＝ａ＋ｂ＋（ｂ－ａ）ｉ＝１＋ｉ． 由复数相等的充要条件得 ａ＋ｂ＝１， ｂ－ａ＝１{ ，解得 ａ＝０， ｂ＝１{ ．故ｚ２ ＝ｉ． 二、确定等式中参数的值 例２已知实数ｘ，ｙ满足：ｘ２＋（１＋ｉ）ｘｙ＋（ｙ２－４０）ｉ ＝２４，求实数ｘ，ｙ的值． 解析：已知条件变形为（ｘ２＋ｘｙ）＋（ｘｙ＋ｙ２）ｉ＝２４ ＋４０ｉ． 由复数相等的充要条件，得 ｘ２＋ｘｙ＝２４，　　　　　　　　　　　　　① ｘｙ＋ｙ２ ＝４０．{ ② ① ＋②，得（ｘ＋ｙ）２ ＝６４，所以ｘ＋ｙ＝±８． 当ｘ＋ｙ＝８时，把ｙ＝８－ｘ代入①，得ｘ＝３，ｙ＝５； 当ｘ＋ｙ＝－８时，解得ｘ＝－３，ｙ＝－５． 所以 ｘ＝３， ｙ＝５{ ，或 ｘ＝－３， ｙ＝－５{ ． 三、探求参数的取值范围 例３若存在复数ｚ同时满足下列条件： （１）复数ｚ在复平面内对应的点在第二象限； （２）ｚ·ｚ＋２ｉｚ＝８＋ａｉ（ａ∈Ｒ）． 试求实数ａ的取值范围． 解析：设ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），则ｚ＝ｘ－ｙｉ． 由条件（１）知ｘ＜０，ｙ＞０； 由条件（２）得（ｘ＋ｙｉ）（ｘ－ｙｉ）＋２ｉ（ｘ＋ｙｉ）＝８＋ ａｉ，即（ｘ２＋ｙ２－２ｙ）＋２ｘｉ＝８＋ａｉ（ａ∈Ｒ）． 于是 ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝８， ２ｘ＝ａ{ ， 则ａ２ ＝３６－４（ｙ－１）２． 而ｘ＜０，ｙ＞０，则ａ２≤３６，且ａ＜０． 故实数ａ的取值范围是［－６，０）． 四、解决与复数有关的轨迹问题 例４已知关于ｔ的一元二次方程ｔ２＋（２＋ｉ）ｔ＋２ｘｙ ＋（ｘ－ｙ）ｉ＝０（ｘ，ｙ∈ Ｒ），若此方程有实数解，求点 Ｍ（ｘ，ｙ）的轨迹． 解析：设方程的实数解为ｔ０，则 ｔ２０＋（２＋ｉ）ｔ０＋２ｘｙ＋（ｘ－ｙ）ｉ＝０， 即ｔ２０＋２ｔ０＋２ｘｙ＋（ｔ０＋ｘ－ｙ）ｉ＝０． 由复数相等的充要条件得 ｔ２０＋２ｔ０＋２ｘｙ＝０， ｔ０＋ｘ－ｙ＝０ { ， 消去ｔ０，得（ｙ－ｘ） ２＋２（ｙ－ｘ）＋２ｘｙ＝０， 即（ｘ－１）２＋（ｙ＋１）２ ＝２． 故点Ｍ（ｘ，ｙ）的轨迹是以（１，－１）为圆心，半径为 槡２的圆． 书书书 １９． （１２ 分 ） 已 知 复 数 ｚ 满 足 ｚ ＋ ｚ ＝ ６ ， ｜ ｚ｜ ＝ ５． （１ ） 求 复 数 ｚ 的 虚 部 ； （２ ） 求 复 数 ｚ １ － ｉ 的 实 部 ． ２０． （１２ 分 ） 已 知 复 数 ｚ ＝ （２ ＋ ｉ） （ ｉ－ ３ ） ＋ ４ － ２ｉ． （１ ） 求 复 数 ｚ 的 共 轭 复 数 ｚ 及 ｜ ｚ｜； （２ ） 若 复 数 ｚ１ ＝ ｚ＋ （ａ ２ － ２ａ ） ＋ ａｉ（ａ ∈ Ｒ ） 是 纯 虚 数 ，求 实 数 ａ 的 值 ． ２１． （１２ 分 ） 已 知 关 于 ｘ 的 方 程 ｘａ ＋ ｂｘ ＝ １ ，其 中 ａ ，ｂ 为 实 数 ． （１ ） 若 ｘ ＝ １ － 槡 ３ｉ 是 方 程 的 根 ，求 ａ ，ｂ 的 值 ； （ ２ ） 证 明 ：当 ｂａ ＞ １４ 时 ，该 方 程 没 有 实 根 ． ２２． （１２ 分 ） 复 平 面 内 点 Ａ 对 应 的 复 数 是 １ ，过 点 Ａ 作 虚 轴 的 平 行 线 ｌ，设 ｌ 上 的 点 对 应 的 复 数 为 ｚ，求 １ｚ 所 对 应 的 点 的 轨 迹 ．! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789)"*$%&+( 书 一、复数的概念 １．虚数单位：引进一个新数 ｉ，叫做虚数单位，并规 定： （１）它的平方等于 －１，即ｉ２ ＝－１； （２）实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法 运算律仍然成立． ２．概念：形如① （其中ａ，ｂ∈Ｒ）的数叫做 复数，通常用字母ｚ表示，即ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），其中 ａ称为复数ｚ的② ，记作Ｒｅｚ，ｂ称为复数ｚ的③ ，记作Ｉｍｚ． ３．分类：设复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）： （１）当④ ＝０时，ｚ为实数； （２）当⑤ ≠０时，ｚ为虚数； （３）当⑥ ＝０，且⑦ ≠０时，ｚ为 纯虚数． ４．全体复数构成的集合称为复数集，记作 Ｃ，显然 Ｒ⑧ Ｃ． ５．复数相等：两个复数ａ＋ｂｉ与ｃ＋ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈ Ｒ）相等定义为它们的⑨ 且⑩ ，即ａ ＋ｂｉ＝ｃ＋ｄｉ当且仅当瑏瑡 ． ６．两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是 实数，就瑏瑢 比较它们的大小． 二、复数的几何意义 １．复平面、实轴、虚轴：点Ｚ的横坐标是ａ，纵坐标是 ｂ，复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）可以用点Ｚ（ａ，ｂ）表示，通 过建立平面直角坐标系来表