第41期 基本立体图形，直观图，空间点、直线和平面之间的位置关系-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书 一、简单多面体———棱柱、棱锥和棱台 结构特征 棱柱 棱锥 棱台 底面 两底面是 ① 的多边形 多边形 两底面是 ⑧ 的多边形 侧面 平行四边形 三角形 梯形 侧棱 ② 且③ 相交于顶点 延长线 ⑨ 平行于底 面的截面 与两底面 是④ 的多边形 与底面是 ⑥ 的多边形 与两底面 是⑩ 的多边形 过不相邻 两侧棱的 截面 ⑤ ⑦ 瑏瑡 二、简单旋转体———球、圆柱、圆锥和圆台 结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 底面 两底面是 ① 且② 相等的圆 圆 两底面是 瑏瑢 但瑏瑣 的圆 无 侧面展 开图形状 矩形 扇形 扇环 不可展开 母线 ③ 且④ ⑧ 延长线 瑏瑤 无 平行于底 面的截面 形状 与两底面是 ⑤ 且⑥ 相等的圆 ⑨ 于底面且 ⑩ 的圆 与两底面 是平行且 半径不相 等的圆 球的 瑏瑦 截面都是 圆面 轴截面 形状 ⑦ 瑏瑡 瑏瑥 瑏瑧 三、直观图 １．空间几何体的直观图通常是在 ① 投影下画出的空间图形，我们常用斜二测画法画平面图 形的直观图． ２．斜二测画法的步骤： （１）在已知图形中取 ② 的 ｘ轴 和ｙ轴，两轴相交于点Ｏ．画直观图时，把它们画成对应 的ｘ′轴与 ｙ′轴，两轴交于点 Ｏ′，且使 ∠ｘ′Ｏ′ｙ′＝③ ，它们确定的平面表示水平面． （２）已知图形中平行于ｘ轴或ｙ轴的线段，在直观图 中分别画成④ ． （３）已知图形中平行于ｘ轴的线段，在直观图中保 持原长度不变，平行于 ｙ轴的线段，长度 ⑤ ． ３．斜二测画法主要用于画多面体的直观图，它的具 体步骤是： （１）在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直 的轴Ｏｘ，Ｏｙ；再取 Ｏｚ轴，使 ∠ｘＯｚ＝９０°，且 ∠ｙＯｚ＝ ９０°． （２）画直观图时，把 Ｏｘ，Ｏｙ，Ｏｚ画成对应的 Ｏ′ｘ′， Ｏ′ｙ′，Ｏ′ｚ′，使 ∠ｘ′Ｏ′ｙ′＝⑥ ，∠ｘ′Ｏ′ｚ′＝９０°． ｘ′Ｏ′ｙ′所确定的平面表示水平平面． （３）已知图形中平行于ｘ轴，ｙ轴或ｚ轴的线段，在直 观图中分别画成平行于ｘ′轴、ｙ′轴或ｚ′轴的线段． （４）已知图形中平行于ｘ轴和ｚ轴的线段，在直观图 中保持原长度不变；平行于ｙ轴的线段长度为原来的⑦ ． （５）擦去辅助线，并将被遮线画成虚线． 四、空间图形基本位置关系的认识 位置关系 图形表示 符号表示 点与直线的 位置关系 点与平面的 位置关系 点Ｂ在直线ｂ上 点Ｂ在直线ａ外 点Ｂ在平面α内 点Ａ１在平面α外 ① ② ③ ④ 直线与直线 的位置关系 直线与平面 的位置关系 直线ａ和直线 ｌ相交 直线ｂ和直线ｌ 不相交 直线ａ在平面β内 直线ｌ与平面α 相交 直线ａ与平面α 平行 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ａ∥α ⑨ 平面与平面的 位置关系 平面α与平面β 不相交（平行） 平面α与平面β 相交 α∥β ⑩ α∩β＝ｌ 五、刻画空间点、线、面位置关系的公理 １．基本事实１：过 ① 的三个点，有且只有 一个平面． 图形表示：如图１． 符号表示：Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线 存在唯一的α使Ａ，Ｂ，Ｃ② ． 说明：不在一条直线上的三个点Ａ，Ｂ，Ｃ所确定的平 面，可以记作平面ＡＢＣ． 作用：确定平面及判定两个平面重合的依据；证明 点、线共面的依据． ２．基本事实 ２：如果一条直线上的两个点在 ③ ，那么这条直线④ ． 图形表示：如图２． 符号表示：Ａ∈ ｌ，Ｂ∈ ｌ，且 Ａ∈ α，Ｂ∈α⑤ ． 作用：判定直线在平面内的依据，当我们要证明直 线在平面内时，只需在直线上取两点，证明这两点在平 面内即可；判定点在平面内的依据；表达了平面的特点 以及直线和平面的位置关系． ３．三个推论 推论１：一条直线和 ⑥ 一点确定一个平 面； 推论２：两条⑦ 直线确定一个平面； 推论３：两条⑧ 直线确定一个平面． ４．基本事实 ３：如果两个不重合的平面有 ⑨ ，那么它们有且只有一条过该点的 ⑩ ． 图形表示：如图３． 符号表示：Ｐ∈α，且Ｐ∈ β瑏瑡 ，且瑏瑢 ． 作用：判定两个平面相交的依 据，如果两个平面有一个公共点，那 么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面 的两个公共点，就找出了它们的交线；判定点在直线上 的依据．点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的 交线，则这点在交线上；表达了不重合的平面与平面有 两种位置关系：两个平面相交于一条直线，两个平面平 行． ５．基本事实４：平行于同一条直线的两条直线互相 瑏瑣 ． 符号表示：直线ａ，ｂ，ｃ，ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ瑏瑤 ． 作用：证明两直线平行． 说明：基本事实４表述的性质通常叫做空间平行线 的瑏瑥 ． ６．空间中两条直线的位置关系 （１）相交直线———同一平面内，瑏瑦 一个公共点； （２）平行直线 ——— 同一平面内，瑏瑧 公共 点； （３）异面直线———不同在任何一个平面内，没有公 共点． 空间两条