第43期 垂直关系、简单几何体的再认识-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 如 图 ８ ，Ｐ 是 △ ＡＢＣ 所 在 平 面 外 的 一 点 ，且 ＰＡ ⊥ 平 面 ＡＢＣ ， 平 面 ＰＡＣ ⊥ 平 面 ＰＢＣ．证 明 ：ＢＣ ⊥ ＡＣ． ２０． （１２ 分 ） （ ２０２３ 云 南 昭 通 市 昭 阳 区 第 二 中 学 单 元 测 试 ） 如 图 ９ ，在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中 ，∠ Ｄ ＡＢ ＝ ９０°，∠ ＡＤ Ｃ ＝ １３５°，ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ５ ，ＣＥ ＝ ２ ，ＡＤ ＝ ２ ，求 四 边 形 ＡＢＣＤ 绕 直 线 ＡＤ 旋 转 一 周 所 得 几 何 体 的 表 面 积 及 体 积 ． ２１． （１２ 分 ） 如 图 １０ ，平 面 ＰＣＢＭ ⊥ 平 面 ＡＢＣ ，∠ ＰＣＢ ＝ ９０°，ＰＭ ∥ ＢＣ ， 已 知 ＡＣ ＝ ＰＣ ＝ ＰＭ ＝ １ ，ＢＣ ＝ ２ ，∠ ＡＣＢ ＝ ９０°． 证 明 ：（１ ）ＡＣ ⊥ ＢＭ ； （ ２ ） 平 面 ＡＢＭ ⊥ 平 面 ＡＣＭ ． ２２． （１２ 分 ） 在 如 图 １１ 所 示 的 四 面 体 ＡＢＣＤ 中 ，ＡＢ ，ＢＣ ，ＣＤ 两 两 互 相 垂 直 ，且 ＢＣ ＝ ＣＤ ． （１ ） 证 明 ：平 面 ＡＣＤ ⊥ 平 面 ＡＢＣ ； （ ２ ） 求 二 面 角 Ｃ － ＡＢ － Ｄ 的 大 小 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( ! " # $ % ! ! " & # ' $ ! ! ! ! # ! ( $ & ) * ( + % ! $ 书 垂直是空间中一种重要的位置关系，历来是高考中 命题的一个热点，但由于初学者认识上的偏差、思维上 的疏漏，都会出现这样或那样的错误，为了防微杜渐，我 们不妨来个空间垂直关系错解总结． 一、内涵理解不透彻 例１已知平面α⊥β，下面四个命题： ①α内的任一直线必垂直于β内的无数条直线；② 在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意 一条直线；③α内的任一直线必垂直于β；④过β内的任 意一点作α与β的交线的垂线，则这条直线必垂直于α． 其中正确的命题序号为 ． 错解：①②③④． 剖析：由面面垂直机械地推出了线面垂直，从而导 致错选③；而对于④，若取点在两个平面的交线上，则 显然结论是错误的．产生这些错误的原因在于对面面垂 直、线面垂直、线线垂直的判定与性质的本质上把握不 够到位． 正解：①②． 二、受直觉思维影响而想当然 例 ２如图 １所示，ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 是长方体，且底 面 ＡＢＣＤ为正方形，试问：截面ＡＣＢ１ 与对角面ＢＢ１Ｄ１Ｄ垂直吗？ 错解：设ＡＣ与ＢＤ交点为Ｏ， 连接Ｂ１Ｏ，则Ｂ１Ｏ是截面ＡＣＢ１与 对角面ＢＢ１Ｄ１Ｄ的交线．因为Ｂ１Ｏ 是底面ＡＢＣＤ的斜线，所以截面ＡＣＢ１与底面倾斜相交， 从而截面ＡＣＢ１不可能与对角面ＢＢ１Ｄ１Ｄ垂直． 剖析：错解从 Ｂ１Ｏ与底面倾斜相交，就断定截面 ＡＣＢ１不可能与对角面ＢＢ１Ｄ１Ｄ垂直，这是没有根据的， 犯了主观臆断的错误． 正解：因为Ｄ１Ｄ⊥平面ＡＢＣＤ，所以Ｄ１Ｄ⊥ＡＣ， 而ＡＣ⊥ＢＤ，且ＢＤ∩Ｄ１Ｄ＝Ｄ， 则ＡＣ⊥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ． 又ＡＣ平面ＡＣＢ１， 所以平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ⊥平面ＡＣＢ１． 三、忽视定理的关键条件 例３如图２，已知Ｓ为△ＡＢＣ所 在平面外一点，ＳＡ⊥ 平面 ＡＢＣ，平 面ＳＡＢ⊥平面ＳＢＣ．求证：ＡＢ⊥ＢＣ． 错解：平面ＳＡＢ⊥平面ＳＢＣ，且 ＢＣ平面ＳＢＣ， 所以ＢＣ⊥平面ＳＡＢ，故ＡＢ⊥ＢＣ． 剖析：上述证法错误在于误用两个平面垂直的性质 定理，没有抓住面面垂直的性质定理的一个关键条件 ———直线必须与交线垂直． 正解：过Ａ点作直线ＡＥ⊥ＳＢ于Ｅ， 因为平面ＳＡＢ⊥平面ＳＢＣ，且交线为ＳＢ， 所以ＡＥ⊥平面ＳＢＣ，所以ＢＣ⊥ＡＥ， 又因为ＳＡ⊥平面ＡＢＣ，所以ＳＡ⊥ＢＣ， 所以ＢＣ⊥平面ＳＡＢ，故ＢＣ⊥ＡＢ． 书 一、直线与平面垂直 １．一般地，如果直线ｌ与平面 α内的任何一条直线 都 ① ，那么称直线 ｌ与平面 α垂直，记作 ② ．直线ｌ称为平面α的③ ，平面α称为直线 ｌ的④ ，它们唯一的公共点Ｐ称为⑤ ． 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点 ⑥ 平面与一条直线垂直． ２．直线与平面垂直的性质定理 内容：垂直于同一个平面的两条直线⑦ ． 符号语言：ａ⊥α，ｂ⊥αａ∥ｂ． 作用：这个定理揭示了“平行”与“垂直”之间的一 种联系．利用这个定理可以判定两条直线平行． 其他性质：（１）如果一条直线垂直于一个平面，那 么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，即ａ⊥ α，ｂαａ⊥ｂ； （２）垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即 ａ ⊥α，ａ