第44期 几何体中的外科手术-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １８． （１２ 分 ） （２０２３ 山 西 临 汾 联 考 ） 如 图 １１ ， 在 直 四 棱 柱 ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ，底 面 ＡＢＣＤ 是 边 长 为 ２ 的 正 方 形 ，Ｅ ，Ｆ 分 别 为 Ｄ Ｄ １ ，ＢＤ 的 中 点 ． （１ ） 证 明 ：ＥＦ ∥ 平 面 ＡＢＣ １ Ｄ １ ； （２ ） 四 棱 柱 ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 的 外 接 球 的 表 面 积 为 １６π ，证 明 ：ＥＦ ⊥ 平 面 ＥＡ １ Ｃ １ ． １９． （１２ 分 ） （２０２３ 北 京 海 淀 区 模 拟 ） 如 图 １２ ，在 直 角 梯 形 ＡＢＣＤ 中 ，ＡＤ ∥ ＢＣ ，∠ ＡＤ Ｃ ＝ ９０°，ＢＡ ＝ ＢＣ ．把 △ ＢＡＣ 沿 ＡＣ 折 起 到 △ ＰＡＣ 的 位 置 ，使 得 点 Ｐ 在 平 面 ＡＤ Ｃ 上 的 正 投 影 Ｏ 恰 好 落 在 线 段 ＡＣ 上 ，如 图 １３ 所 示 ，点 Ｅ ，Ｆ 分 别 为 线 段 ＰＣ ，ＣＤ 的 中 点 ． （１ ） 证 明 ：平 面 Ｏ ＥＦ ∥ 平 面 ＰＡＤ ； （２ ） 证 明 ：直 线 ＣＤ ⊥ 平 面 ＰＯ Ｆ． ２０．（１２ 分 ） （２０２３ 济 宁 检 测 改 编 ） 如 图 １４ 所 示 ，四 边 形 ＥＦＧＨ 为 空 间 四 边 形 ＡＢＣＤ 的 一 个 截 面 ，若 截 面 为 平 行 四 边 形 ． （１ ） 证 明 ：ＡＢ ∥ 平 面 ＥＦＧＨ ，ＣＤ ∥ 平 面 ＥＦＧＨ ． （２ ） 若 ＡＢ ＝ ４ ，ＣＤ ＝ ６ ，求 四 边 形 ＥＦＧＨ 周 长 的 取 值 范 围 ． ２ １． （１２ 分 ） （２０２３ 天 津 高 一 月 考 ） 如 图 １５ ， 已 知 在 四 棱 锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中 ，底 面 ＡＢＣＤ 是 矩 形 ，ＰＡ ⊥ 平 面 ＡＢＣＤ ，Ｅ ，Ｆ 分 别 是 ＡＢ ，ＰＤ 的 中 点 ，若 二 面 角 Ｐ － ＣＤ － Ａ 为 ６０°， 且 ＡＤ ＝ ２ ，ＡＢ ＝ ４． （１ ） 证 明 ：ＡＦ ∥ 平 面 ＰＥＣ ； （２ ） 求 异 面 直 线 ＰＣ 与 ＡＢ 所 成 角 的 大 小 ． ２２． （１２ 分 ） （２０２３ 福 建 福 州 外 国 语 学 校 高 一 期 中 ） 如 图 １６ ， 在 四 棱 锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中 ，ＰＡ ⊥ 平 面 ＡＢＣＤ ，四 边 形 ＡＢＣＤ 为 正 方 形 ，点 Ｍ ，Ｎ 分 别 为 线 段 ＰＢ ，ＰＣ 上 的 点 ，Ｍ Ｎ ⊥ ＰＢ． （１ ） 证 明 ：平 面 ＰＢＣ ⊥ 平 面 ＰＡＢ ； （２ ） 证 明 ：当 点 Ｍ 不 与 点 Ｐ ，Ｂ 重 合 时 ，Ｍ Ｎ ∥ 平 面 ＡＢＣＤ ； （ ３ ） 当 ＡＢ ＝ ３ ，ＰＡ ＝ ４ 时 ，求 点 Ａ 到 直 线 Ｍ Ｎ 距 离 的 最 小 值 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789)"*$%&+( ! ! ! ! " # $ ! ! " ! # ! $ ! % & ! ! " # $ " ! ! ! # # $ ' % ! & ( ! ! $ " ! & # $ % ( ! ! % ! ) # * $ & % " ! ! & # ! " $ + , ( 书 !"#$%&'()*++,-./01 ， 233 456789:-;1'<=>+(: ， +,?@AB CD ． =>EFF#$%&'(-!"GH ． ! １ IJ １， >K$5%&LMN-LOP Ｐ－ ＡＢＣＤ : ， / Ｅ ) ＰＤ -:/ ， !" ：ＰＢ∥%$ＡＥＣ． " ： QR ＢＤ， S ＡＣ TUV/ Ｏ， QR ＥＯ（ !" ２）． W5 ＡＢＣＤ )%&LMN ， XY Ｏ ) ＢＤ -:/ ， ZW5 Ｅ ) ＰＤ -:/ ， XY ＥＯ∥ＰＢ． ZW5 ＰＢ%$ＡＥＣ，ＥＯ%$ＡＥＣ， XY ＰＢ∥%$ＡＥＣ． ! ２ [\]^N ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｆ _`)M ＡＢ，ＣＤ -: / ， a△ＡＤＥbＤＥcd（!"３）． !" ：ＢＦ∥%$ＡＤＥ． #$ ： IJ ４，Ｅ，Ｆ _`)]^N ＡＢＣＤ -M ＡＢ，ＣＤ -:/ ， XY ＥＢ∥ＦＤ，eＥＢ＝ＦＤ． XYLMN ＥＢＦＤ )%&LMN ， XY ＢＦ∥ＥＤ． W5 ＥＤ%$ＡＥＤ，ＢＦ%$ＡＥＤ， XY ＢＦ∥%$ＡＤＥ． ! ３ IJ ５， >f^7 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１:，Ｅ)ＢＣ -:/ ，Ｍ，Ｎ _`) ＡＥ，ＣＤ１-:/， !" ：ＭＮ∥%$ＡＤＤ１Ａ１． #$ ： g ＣＤ -:/ Ｋ， QR