第37期 同角三角函数的基本关系 两角和与差的三角函数公式-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） （２０２２ 江 苏 宝 应 高 一 期 中 考 前 训 练 ） 已 知 ｃｏｓ α ＝ － 槡 ３ １０ １０ ，ｔａｎ β ＝ － １２ ， π２ ＜ α ＜ π ， π２ ＜ β ＜ π ． （１ ） 求 ( ｓｉｎα － ５π)６ 的 值 ； （２ ） 求 α ＋ β 的 值 ． ２０． （１２ 分 ） （２０２２ 河 南 扶 沟 高 中 高 一 月 考 ） 设 ( ｃｏｓ α － β)２ ＝ － １９ ， ( ｓｉｎ α２ － ) β ＝ ２３ ，且 π２ ＜ α ＜ π ，０ ＜ β ＜ π２ ，求 ｃｏｓ α ＋ β ２ 的 值 ． ２１．（１２ 分 ） （２０２２ 江 苏 苏 州 期 末 ） 已 知 向 量 ａ ＝ （ｓｉｎ θ ，２ ） ，ｂ ＝ （ｃｏｓ θ ， １ ） ，且 ａ ，ｂ 共 线 ，其 中 θ ( ∈ ０ ， π)２ ． （１ ） 求 ( ｔａｎ θ ＋ π)４ 的 值 ； （２ ） 若 ５ｃｏｓ（θ － φ ） ＝ 槡 ３ ５ｃｏｓ φ ，０ ＜ φ ＜ π２ ，求 φ 的 值 ． ２２． （１２ 分 ） （２０２２ 北 京 西 城 高 一 期 末 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ 槡 ３ｓｉｎ ω ｘ ＋ ｃｏｓ ω ｘ ＋ ｍ （ω ＞ ０ ） 同 时 满 足 下 列 三 个 条 件 中 的 二 个 ：① ｆ（０ ） ＝ ２ ；② 最 大 值 为 ２ ；③ 最 小 正 周 期 为 π ． （１ ） 求 出 所 有 可 能 的 函 数 ｆ（ｘ） ，并 说 明 理 由 ； （２ ） 从 符 合 题 意 的 函 数 中 选 择 一 个 ， 求 其 单 调 增 区 间 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 一、已知某一三角函数值，求其他三角函数值 例１已知ｓｉｎα＝－１５１７，求ｃｏｓα的值． 分析：本题是属于“知式求值”问题，其基本方法 是：先将条件用正弦或余弦表示出来，再由ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２ α＝１求解，但在开方时应注意“±”的取舍，有时需要分 类讨论． 解：因为ｓｉｎα＝－１５１７＜０，所以α是第三或第四象 限角． 若α是第三象限角，则 ｃｏｓα＝－ １－ｓｉｎ２槡 α＝ － １ (－ －１５)１７槡 ２ ＝－８１７； 若α是第四象限角，则 ｃｏｓａ＝ １－ｓｉｎ２槡 α ＝ １ (－ －１５)１７槡 ２ ＝ ８１７． 二、利用ｓｉｎα±ｃｏｓα，ｓｉｎαｃｏｓα之间的关系求值 例２若ｓｉｎθｃｏｓθ＝１８，θ (∈ π４，π )２ ，求ｃｏｓθ－ ｓｉｎθ的值． 解：（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）２＝ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ－２ｓｉｎθｃｏｓθ＝ １－１４ ＝ ３ ４． 因为θ (∈ π４，π )２ ，所以ｃｏｓθ＜ｓｉｎθ． 所以ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝－槡３２． 三、利用公式化简 例 ３化简： １ ｃｏｓα １＋ｔａｎ２槡 α ＋ １＋ｓｉｎα１－ｓｉｎ槡 α － １－ｓｉｎα １＋ｓｉｎ槡 α． 分析：涉及根式的化简，要注意结果的符号．含绝对 值符号的化简应注意分类讨论． 解：原式 ＝－ １ ｃｏｓα １＋ｓｉｎ ２α ｃｏｓ２槡 α ＋ （１＋ｓｉｎα） ２ １－ｓｉｎ２槡 α － （１－ｓｉｎα） ２ １－ｓｉｎ２槡 α ＝ ｜ｃｏｓα｜ ｃｏｓα ＋１＋ｓｉｎα｜ｃｏｓα｜ －１－ｓｉｎα｜ｃｏｓα｜ ． 当α是第一、四象限角时，原式 ＝１＋２ｔａｎα； 当α是第二、三象限角时，原式 ＝－１－２ｔａｎα； 当α在ｘ轴正半轴上时，原式 ＝１； 当α在ｘ轴负半轴上时，原式 ＝－１． 书 三角函数是高中数学的一种重要函数，而三角恒等 式又是三角函数中的一个重要内容，也是难点之一，通 常对三角函数的求值、化简、证明不知从何入手，本文由 一题四解介绍几种变换技巧，以供参考． 题目：已知ｓｉｎα＋槡３ｃｏｓα＝－２，求ｔａｎα的值． 方法一：（特殊角技巧） 因为ｓｉｎα＋槡３ｃｏｓα＝ (２ １２ｓｉｎα＋槡３２ｃｏｓ )α ＝ (２ｓｉｎαｃｏｓπ３＋ｃｏｓαｓｉｎπ )３ ＝ (２ｓｉｎ α＋π )３ ＝－２， 所以 (ｓｉｎ α＋π )３ ＝－１，所以 α＋π３ ＝２ｋπ＋ ３π ２（ｋ∈Ｚ），则α＝（２ｋ＋１）π＋ π ６（ｋ∈Ｚ）， 故ｔａｎα＝ [ｔａｎ （２ｋ＋１）π＋π ]６ ＝ｔａｎπ６ ＝槡３３． 方法二：（解方程技巧） 由 ｓｉｎα＋槡３ｃｏｓα＝－２，得ｓｉｎα＝－２－槡３ｃｏｓα， 即ｓｉｎ２α＝（－２－槡３ｃｏｓα） ２， 所以ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝（－２－槡３ｃｏｓα） ２， 整理得４ｃｏｓ２α＋槡４３ｃｏｓα＋３＝０，解得ｃｏ