专题16 生活中的轴对称-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 （一）轴对称的定义 （1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。 （2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 （二）轴对称的性质 （1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 （2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 （3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。 （4）轴对称-最短路线问题： 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． （三）等腰三角形 定义：三角形中有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 特征：（1）等腰三角形是轴对称图形。 （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（也称“等腰三角形的三线合一”），“三线”所在的直线就是等腰三角形的对称轴。 （3）等腰三角形的两腰相等、两底角相等。 判定方法：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边” （四）等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 特征：（1）等边三角形是轴对称图形。（2）等边三角形的三条边相等，三个内角都相等且都为60° 判别方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （五）线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，垂直且平分线段的直线就是它的对称轴。 （2）线段的垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称中垂线。如下图，直线⊥AB，且AC=BC，则直线叫做线段AB的垂直平分线。 （3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如上图，则AP=BP. （4）尺规作线段的垂直平分线： （六）角的轴对称性 （1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 如图，OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA、PE⊥OB，则DP=EP. （3） 尺规作已知角的角平分线：如右上图 例题分析 考点1 轴对称现象 【例1】．把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（　　） A． B． C． D． 变式训练 【变1-1】．在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变1-2】．下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形 【变1-3】．如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是　 　． 考点2 利用轴对称的性质求线段和最值和角度问题 【例2】．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′； （2）在直线l上找一点P（在图中标出）使PB+PC的长最短，并求出这个最短长度． 变式训练 【变2-1】．如图，在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝51°，点D在BC上，分别以AB，AC为对称轴，画出点D的对称点E，F，连结AE，AF，则∠EAF的度数为（　　） A．113° B．124° C．129° D．134° 【变2-2】．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠BGE＝126°，则∠EFG的度数为 　 　． 【变2-3】．如图，点P在∠AOB内部，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，连接MN，分别交OA、OB于E、F．若MN＝8cm，求△PEF的周长． 考点3 轴对称在等腰三角形中的应用 【例