专题17 轴对称性质的应用-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 1.等腰三角形 定义：三角形中有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 特征：（1）等腰三角形是轴对称图形。 （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（也称“等腰三角形的三线合一”），“三线”所在的直线就是等腰三角形的对称轴。 （3）等腰三角形的两腰相等、两底角相等。 判定方法：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边” 2.等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 特征：（1）等边三角形是轴对称图形。（2）等边三角形的三条边相等，三个内角都相等且都为60° 判别方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 3.线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，垂直且平分线段的直线就是它的对称轴。 （2）线段的垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称中垂线。如下图，直线⊥AB，且AC=BC，则直线叫做线段AB的垂直平分线。 （3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如上图，则AP=BP. （4）尺规作线段的垂直平分线： 4.角的轴对称性 （1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 如图，OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA、PE⊥OB，则DP=EP. （3） 尺规作已知角的角平分线：如右上图 例题分析 考点1 等腰三角形 【例1】．如图：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB过于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是　　 ． 变式训练 【变1-1】．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分成24和30两部分，则底边BC的长为 　 　． 【变1-2】．等腰△ABC中，AB＝AC，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，则∠DEB＝　 　°． 【变1-3】．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D，…，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角的度数为 　　 ． 考点2 等边三角形 【例2】．如图，已知∠MON＝30°，A、B、C、D在射线ON上，点E、F、G在射线OM上，△ABE、△BCF、△CDG均为等边三角形，若OA＝1，则△CDG的周长为 　 　． 变式训练 【变2-1】．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　 　． 【变2-2】．如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F，若PD+PE+PF＝4，且S△ABC＝16，则△ABC的边长为　 　． 【变2-3】．已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 　 　． 考点3 线段的垂直平分线 【例3】．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是　 　． 变式训练 【变3-1】．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．17cm B．19cm C．21cm D．23cm 【变3-2】．如图，△ABC中AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若AC比AD的2倍少4，△ADC的周长是16，则DC＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．4.5 【变3-3】．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE＝AC． 考点4 角平分线 【例4】．如图，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝1，则△ABC的面积是 　 　． 变式训练 【变4-1】．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC