8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：棱柱的表面积及体积 必会题型二：棱锥的表面积及体积 必会题型三：棱台的表面积及体积 必会题型四：棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．因此，我们可以把多面体展开成平面图形，利用求平面图形面积的方法，求多面体的表面积． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个平行四边形、三角形、梯形组成的．侧面展开图的面积称为几何体的侧面积，故棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们各个侧面的面积之和． (1)直棱柱的侧面积：直棱柱的侧面展开图是一个矩形．如图，这个矩形的长为直棱柱底面的周长，宽为直棱柱的高，则直棱柱的侧面积． (2)正棱锥的侧面积：正棱锥的侧面展开图是由个全等的等腰三角形组成的．如图8-3.1-2，设正棱锥的底面边长为，周长为，斜高为，则正棱锥的侧面积． (3)正棱台的侧面积：正棱台的侧面展开图是由个全等的等腰梯形组成的．如图8-3.1-3，设正棱台的上、下底面边长分，其中分别是上、下底面的周长． 3．棱柱、棱锥、棱台的表面积 (1)棱柱的表面积等于它的侧面积与两底面面积的和． (2)棱锥的表面积等于它的侧面积与底面面积的和． (3)棱台的表面积等于它的侧面积与上下底面面积的和． 【名师点睛】(1)长方体是特殊的直棱柱、设长方体的长、宽、高分别为，，则长方体的表面积． (2)正方体的表面积为正方体的棱长． 必会知识二 棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱、棱锥、棱台的高 (1)棱柱的高：两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的高：从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (3)棱台的高：两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与下底面的交点)之间的距离． 2．棱柱的体积 棱柱的体积：一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积． 3．棱锥的体积 棱锥的体积：一般地，如果棱锥的底面面积为，高为，那么该棱锥的体积． 4．棱台的体积 棱台的体积：由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式，其中分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高． 必会知识三 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的联系 对于棱台的体积公式 : 当时，得；当时，得． 所以棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的联系如图8-3.1-6． 必会知识四 等体积法 解决立体几何中三棱锥的体积或点到平面的距离等相关问题时，有时用常规的力法并不能轻易地获得结果，巧换底面，往往能使我们豁然开朗，达到事半功倍的效果． 如图8-3．1-7，在三棱锥中，若要求点到平面的距离，可以先求． 这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中体积一般用顶点法求解，即．选用等休积法的原则是体积易求，且底面三角形的面积易求． 必会知识五 割补法 当一个几何体的形状不规则或体积很难计算时，常通过分割或补形的方法(割补法)，将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后计算其体积，或者将三㥄锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱岯原为平行六面体，将台体还原为锥体从而求解．常见的“补形”情况如下： 1．将正四面体补为正方体，如图8-3.1-8． 2．将相对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图8-3.1-9． 3．将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图8-3.1-10．． 4．将三棱锥补找三㥄柱或平行六面体，如图8-3.1-11，8-3.． 5．将三棱柱补成平行六面体，如图8-3.1-13． 6．将台体补成锥体，如图8-3.1-14． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：棱柱的表面积及体积 1．（2023·高一单元测试）边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（    ） A．36 B．72 C．108 D．240 2．（2023·高一课时练习）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考开学考试）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O