第一部分 第一章 考点测试4 基本不等式-【金版教程】2024高考数学一轮总复习首选用卷全书word（新教材）

高考总复习首选用卷  数学 考点测试4　基本不等式 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考点研读 1．了解基本不等式的证明过程 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 一、基础小题 1．若0<a<，则a(1－2a)的最大值是(　　) A． B． C． D．1 答案　A 解析　由0<a<，得1－2a>0，则a(1－2a)＝·2a(1－2a)≤＝，当且仅当a＝时取等号．故选A. 2．已知a＞0，b＞0，3a＋＝1，则＋3b的最小值为(　　) A．13 B．19 C．21 D．27 答案　D 解析　＋3b＝＝3＋12＋＋9ab≥15＋2＝27，当且仅当＝9ab，即a＝，b＝6时，等号成立，故＋3b的最小值为27. 3．已知x＞1，则x＋的最小值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　D 解析　∵x＞1，故x－1＞0，＞0，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，故x＋的最小值是3. 4．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为(　　) A．9 B．12 C．16 D．20 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，＋≥⇒(2a＋b)≥n，(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当a＝b时，取等号)，要想不等式＋≥恒成立，只需n≤9，即n的最大值为9.故选A. 5．已知m，n∈R，且m－3n＋4＝0，则2m＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　将m＝3n－4代入2m＋，可得2m＋＝23n－4＋＝＋≥2＝，当且仅当n＝时，取等号． 6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 答案　B 解析　因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥2，当且仅当x＝，y＝1时等号成立，即2≤2，所以xy≤，所以当且仅当x＝，y＝1时，xy取到最大值，最大值为.故选B. 7．若实数x＋3y＝3，则＋的最小值为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 答案　A 解析　因为＋＝＋＝＋＋2，又因为x＋3y＝3，则(x－1)＋(3y－1)＝1，因为x＞1，y＞，所以＋＝[(x－1)＋(3y－1)]＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝3y－1，x＋3y＝3，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为6. 8．已知函数f(x)＝cosπx(0<x<2)，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则＋的最小值为(　　) A． B．9 C．18 D．36 答案　A 解析　函数f(x)＝cosπx(0<x<2)的图象的对称轴为直线x＝1.因为a≠b，且f(a)＝f(b)，所以a＋b＝2，所以＋＝·(a＋b)×＝×≥×＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为.故选A. 9．(多选)下列说法正确的是(　　) A．x＋(x＞0)的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．2－3x－的最大值是2－4 答案　AB 解析　当x＞0时，x＋≥2＝2，A正确；∵x2≥0，∴＝≥，B正确；＝＝＋，令t＝，则t∈[2，＋∞)，∵y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，∴t＋≥2＋＝，即≥，C错误；当x＜0时，2－3x－无最大值，D错误．故选AB. 10．(多选)若a＞0，b＞0，＋b＝2，则＋的可能取值有(　　) A． B． C． D． 答案　CD 解析　原式＝＋＝＋＝＋＝(3－b＋b)＝≥. 11．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值为________． 答案　4 解析　∵正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，∴x＋2y＋－8≥0.设x＋2y＝t＞0，∴t＋t2－8≥0，∴t2＋4t－32≥0，即(t＋8)·(t－4)≥0，∴t≥4，即x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值为4. 12．正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则m＋n＝________，＋的最小值是________． 答案　4　4 解析　由于数列{an}是正项等比数列，所以公比q>0.由a6＝a5＋2a4得q2＝q＋2，解得q＝2(负根舍去)．由＝2a1，得2m＋n－2＝22，m＋n＝4.故＋＝(m＋n)＝×≥×＝×(10＋6)＝4，当且仅当m＝1，n＝3时，＋取得最小值4. 二、高考小题 13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sinx|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ 答案　C 解析　对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋