第一部分 第二章 考点测试17 利用导数研究不等式与函数的零点-【金版教程】2024高考数学一轮总复习首选用卷全书word（新教材）

金版教程 高考总复习首选用卷  数学 考点测试17　利用导数研究不等式与函数的零点 高考概览 本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中、高等难度 考点研读 1．了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，从而解决函数不等式问题 2．利用函数的单调性结合函数零点存在定理解决函数零点问题(其中多项式函数不超过三次) 一、基础小题 1．函数f(x)＝xex－x－ln x－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　f′(x)＝ex＋xex－1－＝ex(x＋1)－＝(x＋1)＝，令h(x)＝xex－1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝ex＋xex>0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵h(0)＝－1<0，h(1)＝e－1>0，∴存在唯一的x0∈(0，1)，使得h(x0)＝0，即x0ex0－1＝0，即ex0＝，x0＝－ln x0，∴当0<x<x0时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(x0)＝x0ex0－x0－ln x0－1＝1－x0＋x0－1＝0，∴函数f(x)＝xex－x－ln x－1的零点个数为1.故选B. 2．不等式ln x－kx≤0恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．[0，e) B．(－∞，e] C． D． 答案　D 解析　由题意可得k≥在区间(0，＋∞)上恒成立，令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝(x>0)，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)，所以f(x)max＝f(e)＝，所以k≥.故选D. 3．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a＝f(1)，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．a>c>b 答案　A 解析　设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝<0，∴g(x)为减函数．∵0<1<ln 4<3，∴g(1)>g(ln 4)>g(3)，即a>b>c. 4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f(x)>f′(x)＋2，且f(1)＝2022，则不等式f(x)－2020ex－1<2的解集为(　　) A．(0，＋∞) B． C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 答案　C 解析　设函数g(x)＝，所以g′(x)＝＝，因为f(x)>f′(x)＋2，所以f′(x)－f(x)＋2<0，即g′(x)<0，所以g(x)在R上单调递减，因为f(1)＝2022，所以g(1)＝＝，因为f(x)－2020ex－1<2，整理得<，所以g(x)<g(1)，因为g(x)在R上单调递减，所以x>1. 5．已知函数f(x)＝，若f(ex)＋f(ax)<0有解，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，－e) C．[－e，0] D．(－∞，－e)∪(0，＋∞) 答案　D 解析　因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因为f(x)＝1－，所以函数f(x)在R上单调递增．因为f(ex)＋f(ax)<0有解，即f(ex)<－f(ax)有解，所以f(ex)<f(－ax)有解，由函数f(x)在R上单调递增，可得ex<－ax有解． 解法一：令g(x)＝ex＋ax，则g′(x)＝ex＋a.①当a>0时，g′(x)>0，函数g(x)在R上单调递增，g＝－1<0，符合题意；②当a＝0时，g(x)>0，不符合题意；③当a<0时，令g′(x)＝0，得x＝ln (－a)，当x∈(－∞，ln (－a))时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(ln (－a)，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，因此g(x)min＝g(ln (－a))＝－a＋aln (－a)，由g(x)min<0，解得a<－e.综上，实数a的取值范围为(－∞，－e)∪(0，＋∞)． 解法二：若x>0，则－a>有解，令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，当0<x≤1时，g′(x)≤0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝e，故－a>e，即a<－e.若x<0，则－a<有解，易知当x<0时，恒小于零，所以－a<0，即a>0.若x＝0，则f(ex)＋f(ax)＝f(1)＋f(0)＝>0，不符合题意．综上，实数a的取值范围为(－∞，－e)∪(0，＋∞)． 解法三：若a<0，如图，在同一平面直角坐标系内作出y＝ex与y＝－ax的图象，当直线y＝－ax与函数y＝ex的图象相