【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练11 算法、数论

专题训练11 算法、数论 一、单选题 1．对个正整数用k种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设k的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（    ） A．能构成素域当且仅当是素数 B． C．是最小的素域（元素个数最少） D． 二、多选题 3．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作和生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数n（n∈N*）可以表示为二进制数（a0a1a2…ak）2，即，其中a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，k∈N*，用f（n）表示十进制数n的二进制表示1的个数，则（    ） A．f（7）=2 B．f（7）=3 C．对于任意r∈N*， D．对于任意r∈N*， 4．已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．是等比数列 C．的个位数是5 D．的个位数是1 三、填空题 5．对于正整数，最接近的正整数设为，如，记，从全体正整数中除去所有，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前8项和为_________. 6．已知为正整数，.其中的系数为10，则的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________. 7．将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列，如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”.已知，设区间内的三个正整数，，满足:数列，，，为“弱等比数列”，则的最小值为________. 四、解答题 8．规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个2进制形式的数，且； （1）已知，试将表示成进制的简记形式； （2）若数列满足，，，，，求证：； （3）若常数满足且，，求. 9．执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为， ． （1）若输入，写出输出结果； （2）若输入，求数列的通项公式； （3）若输入，令，求常数，使得是等比数列． 10．定义，其中为奇素数. (1)给出同余方程的满足的一组解； (2)（代数基本定理）设，且，求证在内至多有个解； (3)（小定理）求证：； (4)（原根存在定理）若正整数满足：，且，则记，则称为在意义下的阶，求证：必定存在，有； (5)求证，存在，都存在中必有一者成立； (6)说明当时，必有一组非零解. 11．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若构成等比数列，求正整数； (3)记，求证：. 12．设为n个正整数，并且满足，令，并记.求证：对于任意，必存在正整数u、v，使得，等于A或. 13．设为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码． 14．给定素数.称1，2，…，的排列为“好排列”，如果对，2，…，均有，并且是的倍数.求“好排列”的个数除以的余数. 15．给定正整数.记，，2，3，….证明：对任意素数，存在无穷多个非负整数对，满足，，…，这100个数都能被整除，并且都不能被整除. 16．设a，b为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使得对任意正整数n成立．求所有满足条件的有序数对． 17．设是两两不同的实数，且满足，求所有可能的取值. 18．正整数数列的前项和为，前项积，若，则称数列为“数列”. (1)判断下列数列是否是数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56 (2)若数列是数列，且.求和； (3)是否存在等差数列是数列？请阐述理由. 19．对于素数p，定义集合. 及.试求所有的素数p，使得 . 20．设，问：是否存在正整数，使如果存在，试求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由． 21．试求所有的正整数，满足存在一个整数，使得是的一个因数． 23．操场上有100个人排成一圈，按顺时针方向依次标为，，…，．主持人将编号为l，2，…，50的纪念品按照以下方式依次分发给众人：先将第l号纪念品交给；然后顺