【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练05 数列

专题训练05 数列 一、单选题 1．已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列的前n项和； ③数列每一项都满足成立； ④数列每一项都满足. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④ 2．若，且对任意正整数n，均有，则称一个复数数列为“有趣的”．若存在常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有，则C的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 3．定义：若数列满足，则称为“Titus双指数迭代数列”.已知在“Titus双指数迭代数列”中，首项，则（    ） A．当时， B．当时，为递增数列 C．当时，有最小值 D．当取任意非零实数时，一定有最大值或最小值 4．已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若数列满足，则 5．利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（    ） A． B． C． D． 6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 三、填空题 7．已知数列、、的通项公式分别为、、，其中，，，，，令，（表示、、三者中的最大值），则对于任意，的最小值为__________． 8．作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.计算可得，其中是正边形的一条边所对圆心角的一半. 给出下列四个结论： ①；②； ③；④记，则，. 其中正确结论的序号是__________. 9．对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则___________. 四、解答题 10．已知数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得； ②对于中任意连续三项，均有． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i）有穷数列：； （ⅱ）无穷数列：． (2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值； (3)若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式． 11．对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令． (1)如果数列为、、，写出数列、； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明； (3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，． 12．已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，求． 13．若无穷数列满足，，则称具有性质．若无穷数列满足，，则称具有性质． (1)若数列具有性质，且，请直接写出的所有可能取值； (2)若等差数列具有性质，且，求的取值范围； (3)已知无穷数列同时具有性质和性质，，且不是数列的项，求数列的通项公式． 14．对于一个有穷单调递增正整数数列P，设其各项为，，，，若数列P中存在不同的四项，，，满足，则称P为等和数列，集合称为P的一个等和子集，否则称P为不等和数列． (1)判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10； (2)已知数列P：，，，，是等和数列，并且对于任意的，总存在P的一个等和子集M满足集合，求证：数列P是等差数列； (3)若数列P：，，，是不等和数列，求证：． 15．高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩） (1)求需要建造的桥墩的个数； (2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值. 16．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断、哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； (3)当遍历所有2023元规范数集时，求范