【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练03 三角函数

专题训练03 三角函数 一、单选题 1．定义在上的函数的导函数为，且，若，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为（） C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2） D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则 3．已知正实数C满足：对于任意，均存在，使得，记C的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数各项均不相等的数列满足.令.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 二、多选题 8．勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体表面上交线的长度为 D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 9．若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为， C．存在实数，使得对任意的，都存在且，满足， D．若函数，，（是实常数），有奇数个零点，则 10．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有(    ) A． B．若，则函数的最小正周期为； C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 11．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（    ） A．为的垂心 B． C． D． 三、填空题 13．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是__________. 14．△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________. 15．已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________. 四、解答题 16．设函数，. (1)若在处切线的倾斜角为，求； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)证明：对任意，. 17．定义 (1)证明： (2)解方程： 18．若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集． (1)判断是否是函数的点，并说明理由； (2)若函数的集为，求的最大值； (3)若定义域为的连续函数的集满足，求证：． 19．在锐角△中，，点为△的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围. 20．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，. (1)证明：当时，； (2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”. （i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由； （ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 21．已知函数的定义域为，若恰好存在个