【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练02 函数与导数

专题训练02 函数与导数 一、单选题 1．设函数，则（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．对，，函数有且仅有一个零点 C．，恒成立 D．，恒成立 2．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D． 4．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B． C．， D． 二、多选题 6．定义：若数列满足，则称为“Titus双指数迭代数列”.已知在“Titus双指数迭代数列”中，首项，则（    ） A．当时， B．当时，为递增数列 C．当时，有最小值 D．当取任意非零实数时，一定有最大值或最小值 7．已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若数列满足，则 8．已知正四面体的棱长为，其所有顶点均在球的球面上．已知点满足，，过点作平面平行于和，平面分别与该正四面体的棱相交于点，则（    ） A．四边形的周长是变化的 B．四棱锥体积的最大值为 C．当时，平面截球所得截面的周长为 D．当时，将正四面体绕旋转90°后与原四面体的公共部分的体积为 三、填空题 9．已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围_______________. 10．已知，设，，其中k是整数． 若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 __________ ． 11．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______． 12．黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则___________. 13．已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是______．（只填序号） ①为偶函数； ②为奇函数； ③； ④. 14．若对于，，使得不等式恒成立，则实数x的范围为______． 四、解答题 15．已知定义在上的函数有，且对于任意的都有，求证：对于大于1的有理数，及实数，有． 16．已知函数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实根，，且，求证：. 参考数据：，. 17．已知函数， (1)若对成立，求实数a的取值范围； (2)若，函数存在两个极值点，，记的最大值与最小值为，求的值. 18．三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”． (1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； (2)求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”； (3)若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 19．设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像． 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”． (1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； (2)已知，． 证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 20．已知函数． (1)若对时，，求正实数a的最大值； (2)证明：； (3)若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数） 21．设是定义域为的函数，当时，. (1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数； (2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； (3)已知，且对任意，当时，有，证明：. 22．已知，且0为的一个极值点． (1)求实数的值； (2)证明：①函数在区间上存在唯一零点； ②，其中且． 23．已知函数． (1)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：． 24．已知函数． (1)当a=0时，求函数的最小值； (2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练02 函数与导数 一、单选题 1．设函数，则（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．对，，函数有且仅有一个零点 C．，恒成立 D．，恒成立 【答案】D 【分析】由，得，令，令，求出函数的最值，即可得的范围，进而可判断A；根据，分析即可判断B；利用极限思想即可判断C；取，，令，利用导