【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练01 集合与常用逻辑用语

专题训练01 集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 2．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（） A．能构成素域当且仅当是素数 B． C．是最小的素域（元素个数最少） D． 4．设集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差称为集合的长度，那么集合所有长度为的子集的元素个数之和为（） A． B． C． D． 5．设集合，，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 二、多选题 6．设数集满足下列两个条件：（1）；（2），若则.则下论断正确的是（） A．中必有一个为0 B．a，b，c，d中必有一个为1 C．若且，则 D．，使得 三、解答题 7．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． (1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． (2)若集合是集合的一个元基底，证明：； (3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 8．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断、哪个是规范数集，并说明理由； (2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； (3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值. 注：、分别表示数集中的最小数与最大数. 9．我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件： （a）； （b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）； （c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011. 对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值. 10．设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质. (1)判断数集和是否具有性质，并说明理由； (2)若数集且具有性质. （i）当时，求证：，，…，是等差数列； （ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值. 11．已知定义城为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质． (1)判断下列函数是否具有性质，无需说明理由； ①；② (2)若函数的定义域为，且具有性质，则“有解”是“”的__________条件（横线上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并证明你的结论； (3)若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求实数的值． 12．令. (1)若，，试写出的解析式并求的最小值； (2)已知是严格增函数，是周期函数，是严格减函数，，求证：是严格增函数的充要条件：对任意的，，. 13．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有． (1)设，证明：； (2)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的； (3)设，任取，令，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式成立． 14．已知正整数，集合.对于中的元素，，定义，令. (1)直接写出的两个元素及的元素个数； (2)已知，，…，，满足对任意，都有，求m的最大值； (3)证明：对任意，，…，，总存在，使得. 15．设集合中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意，若，都有； ②对于任意，若，则． (1)分别对和，求出对应的； (2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1； (3)如果S恰有4个元素，求的元素个数． 16．设为实数，定义生成数列和其特征数列如下： （i）； （ii），其中. (1)直接写出生成数列的前4项； (2)判断以下三个命题的真假并说明理由； ①对任意实数，都有； ②对任意实数，都有； ③存在自然数和正整数，对任意自然数，有，其中为常数. (3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数生成数列存在无穷递增子列. 17．给定正整数m，数