第6章 5.2 平面与平面垂直（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．2　平面与平面垂直 (一)二面角 1．半平面 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为_______． 半平面 2．二面角 3.二面角的平面角 4．直二面角 平面角是 的二面角称为直二面角． 5．两个平面互相垂直 直角 直二面角 1．构成二面角的平面角的三要素 “棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． 2．找二面角的平面角的方法 (1)垂面法：由二面角的平面角的定义，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两半平面所成交线构成的角就是二面角的平面角． (2)平移法：先分别在两半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到公共端点位置就找到了二面角的平面角． 1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是 (　　) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 答案：D 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等 于________． 答案：45° (二)平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内； ③这条直线垂直于两个平面的交线． (2)如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或异面． 如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF ⊥A1B1交A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是 (　　) A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1 C．相交但不垂直 D．相交且垂直 答案：D (三)平面与平面垂直的判定定理 (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”．要证明平面与平面垂直，只需转化为证明直线与平面垂直，这充分说明了线面垂直与面面垂直的密切关系． (2)要判断两个平面的垂直关系，就需要固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直． (3)观察空间图形时，不能以平面的观点去看待，平面上画的两直线成锐角或钝角，在空间中可能是垂直的． 1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 (　　) A．有一个　　　　　　　　 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 答案：C 2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则 (　　) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 答案：D [方法技巧] 1．求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． 2．确定二面角的平面角的方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线的夹角，即为二面角的平面角． [对点训练]　 1.如图，AB是圆的直径，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的平面角为 (　　) A．∠PAC　　　　　 B．∠CPA C．∠PCA D．∠CAB 解析：∵C是圆上一点(不同于A，B)，AB是圆的直径，∴AC⊥BC，又PA⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC， ∴BC⊥PC，又平面ABC∩平面PBC＝BC，PC∩AC＝C，∴由二面角的定义，得∠PCA为二面角P-BC-A的平面角． 答案：C　 [典例]　如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． 　 (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． [证明]　(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥AP. ∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC. (2)如图，连接BE并延长，交PC于H. ∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH. 又已知AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE. ∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE. ∵AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PC∩PA＝P， ∴AB⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． 面