第6章 5.1 直线与平面垂直（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．1　直线与平面垂直 (一)直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义及有关概念 1．若直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能 (　　) A．平行　 B．相交 C．异面 D．垂直 答案：A 2．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ 提示：不一定．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上 任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作 出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB⊂ 平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直．不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD. (二)直线与平面垂直的性质 1．直线与平面垂直的性质定理 2．直线到平面的距离 如果一条直线与平面 ，那么这条直线上任意一点到 就是这条直线到这个平面的距离． 平行 平面的距离 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)垂直于同一条直线的两个平面平行． (　　) (2)直线上任意一点到这个平面的距离，就是这条直线到这个平面的距离． (　　) (3)到已知平面距离相等的两条直线平行． (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________． 答案：2 (三)直线与平面的夹角的定义及有关概念 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)直线A1B与平面ABCD的夹角的大小为________； (2)直线A1B与平面ABC1D1的夹角的大小为________． 解析：(1)由线面角的定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD的夹角，易得∠A1BA＝45°. (四)直线与平面垂直的判定定理 (1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”：①“一点”即两条直线的交点；②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线；③“一面”即两条相交直线所确定的平面，也是直线的垂面． (2)五大条件：该定理中有五个条件： l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，它们缺一不可． (3)两个线线垂直：定理中注意直线l与直线a，b都垂直，但要注意直线l与直线a，b的位置关系可能相交，也可能异面，即直线l可能经过交点P，也可能不经过交点P. (4)“两条相交直线”是定理中的关键，即直线a，b必须是平面α内的两条相交直线． 1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 (　　) A．平行　 B．垂直　　C．相交不垂直　D．不确定 答案：B 2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是 (　　) A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内 答案：A [证明]　因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MN∥AC， 又因为AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC， 因为DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以BD∥EC， 又CE≠BD，所以四边形BDEC为直角梯形， 因为N为EC的中点，EC＝2BD，所以NC綊BD，所以四边形BCND为矩形， 所以DN∥BC， 又因为DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DN∥平面ABC， 又因为MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，所以平面DMN∥平面ABC. (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直． (2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．　　 [对点训练] 如图所示，AB是异面直线a，b的公垂线(与a，b都垂直相交的直线)， a⊥平面α，b⊥平面β，α∩β＝c，求证：AB∥c. 证明：如图，过A作b′⊥β， ∵b⊥β，∴b∥b′. ∵AB是异面直线a，b的公垂线，∴AB⊥a，AB⊥b. ∴AB⊥b′. 又a∩b′＝A，∴AB垂直于直线a，b′所确定的平面γ. 又a⊥平面α，b′⊥平面β，α∩β＝c， ∴a⊥c，b′⊥c，∴c⊥平面γ，∴AB∥c. [典例]　如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． 　 (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC. [证明]　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB， ∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC⊂平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SD⊥平面ABC. (2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥BD， 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线． ∴BD⊥平面