第6章 4.2 平面与平面平行（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．2　平面与平面平行 (一)平面与平面平行的性质 1．平面与平面平行的性质 (1)面面平行的性质定理可简记为“若面面平行，则线线平行”． (2)面面平行的性质定理中有三个条件：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.这三个条件缺一不可． (3)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． —————————————————————————————————— 2．面面平行的其他性质 (1)在两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面．即“面面平行，则线面平行”．这可以作为证明线面平行的一种方法． (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (3)如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 1．已知长方体ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是 (　　) A．平行　 B．相交　　C．异面　　　D．不确定 解析：因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′. 答案：A　 2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是 (　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 解析：因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n. 答案：A　 (二)平面与平面平行的判定 1．平面与平面平行的判定定理 2．平面与平面平行的判定定理的推论 (1)面面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”．该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题． (2)面面平行的判定定理包含三个条件：①平面α内有两条直线a，b，②直线a，b相交，③直线a，b都平行于平面β.三个条件缺一不可． (3)“一个平面内有两条(或无数条)直线平行于另一个平面，则这两个平面平行”是不正确的，因为两个平面相交时，也可在一个平面内找到无数条与另一平面平行的直线． 1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是 (　　) A．平面α内有一条直线与平面β平行 B．平面α内有两条直线与平面β平行 C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D．平面α与平面β不相交 解析：选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内有两条相交直线与平面β平行才能得到平面α与平面β平行；选项D正确；两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种，因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行．故选D. 答案：D　 2．使三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？ 提示：不一定，也可能相交． [典例]　如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明． [解]　直线a，b的位置关系是平行．证明如下： 连接DD′(图略)． ∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.同理可证AD∥b. 又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′. 又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′， ∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b. 利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内； (4)由定理得出结论．　　 [对点训练] 1.如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的 平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为 ________． 解析：如图所示，连接D1P，B1P，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝ B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1. 答案：l∥B1D1 2.如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A′B′ C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相 平行．求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′， ∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C