第6章 “4翼”检测评价(49) 柱、锥、台的体积（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第2册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(四十九) 柱、锥、台的体积 (一)基础落实 1．(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12　　　　　　 B．28 C. D． 解析：选D　V＝(S′＋＋S)h ＝(2×2＋＋4×4)× ＝.故选D. 2．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(　　) A.πR3 B.πR3 C.πR3 D．πR3 解析：选A　由题意知，圆锥母线长为R，底面半径r＝，则它的高h＝ ＝R，所以圆锥的体积V＝h·πr2＝πR3. 3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A　设圆台的体积为V，高为h.由题意得，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，所以h＝3. 4．棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为(　　) A. B. C. D． 解析：选C　如图，设正四棱锥为SABCD，S在底面ABCD上的投影为O，则O为正方形ABCD的中心，连接OA，OS，则OA＝，∴SO＝＝，∴所求体积V＝S正方形ABCD×OS＝×12×＝. 5.若一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为(　　) A．18 cm2 B．18 cm2 C．12 cm2 D．12 cm2 解析：选A　设正四面体的棱长为a cm，则底面积为a2 cm2，易求得高为a cm，则体积为×a2×a＝9，解得a＝3，所以该正四面体的表面积为4×a2＝4××(3)2＝18(cm2)． 6．已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为________cm3. 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，所以该正六棱柱的体积V＝×22×6×6＝36(cm3)． 答案：36 7．圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形，则圆柱的体积是________． 解析：当母线长为4时，圆柱的底面半径为，此时圆柱的体积为π×2×4＝；当母线长为2时，圆柱的底面半径为，此时圆柱的体积为π×2×2＝.综上所述，圆柱的体积为或. 答案：或 8．(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________． 解析：由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为，所以四棱锥的高为＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V＝π2×1＝. 答案： 9.有一堆规格相同的铁制(铁的密度为7.8 g/cm3)六角螺帽共重6 kg，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm. (1)求一个六角螺帽的体积；(精确到0.001 cm3) (2)问这堆六角螺帽大约有多少个？ (参考数据：π＝3.14，＝1.73,2.952×7.8≈23,1.083×7.8≈8.45) 解：(1)由题得V＝×(12)2×6×10－3.14×2×10＝3 736.8－785＝2 951.8≈2 952(mm3)＝2.952(cm3)，所以一个六角螺帽的体积为2.952 cm3. (2)这堆螺帽的个数为6×1 000÷(7.8×2.952)≈261(个)． 即这堆六角螺帽大约有261个． 10.如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点． (1)求证：PA∥平面COD； (2)求三棱锥PABC的体积． 解：(1)证明：因为O，D分别是AB，PB的中点，所以OD∥PA，而OD⊂平面COD，PA⊄平面COD，所以PA∥平面COD. (2)连接PO，因为△PAB是等边三角形，O是AB的中点，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以PO⊥平面ABC，即PO为三棱锥P-ABC的高．因为AC⊥BC，且AC＝BC＝2，所以AB＝＝＝2，PO＝ ＝＝，所以三棱锥PABC的体积为VPABC＝·S△ABC·PO＝××2×2×＝. (二)综合应用 1．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(　　) A．1∶∶ B．6∶2∶ C．6∶2∶3 D．3∶2∶6 解析：选C　设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π×()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3