第6章 “4翼”检测评价(46) 直线与平面垂直（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第2册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(四十六) 直线与平面垂直 (一)基础落实 1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB　　　　　 B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 解析：选C　由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC. 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　) A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B与l异面但不垂直 D．B1B与l相交但不垂直 解析：选B　因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B. 3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是(　　) A．PE＞PG＞PF B．PG＞PF＞PE C．PE＞PF＞PG D．PF＞PE＞PG 解析：选C　由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，所以PG最短，PF＜PE，所以有PG＜PF＜PE. 4．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下结论： ①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心． 其中正确结论的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4 解析：选A　设平面ABC外一点P及其在该平面内的投影为O，则PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO，△PBO，△PCO全等，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心，只有③正确． 5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且AC＝BC，则直线B1C1与平面ABC1的夹角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选A　∵∠BAC＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝30°，∵BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1，∴∠CBA就是BC与平面ABC1的夹角，即BC与平面ABC1的夹角是30°，∵棱柱中B1C1∥BC，∴B1C1与平面ABC1的夹角的大小为30°. 6．下列命题中，正确的序号是________． ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 解析：当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确． 答案：③④ 7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 解析：根据面面平行的性质可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的性质可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β . 答案：(3)(5)　(2)(5) 8.已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________. 解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6. 答案：6 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1D1的中点，AC∩BD＝O.求证： (1)AC⊥平面B1BDD1； (2)DE∥平面ACB1. 证明：(1)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC， ∵AC⊥BD，BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1. (2)连接OB1，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1且BB1＝DD1， ∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1且BD＝B1D1， ∵O，E分别为BD，B1D1的中点， ∴DO＝EB1， ∴四边形DEB1O是平行四边形， ∴DE∥OB1， ∵DE⊄平面ACB1，OB1⊂平面ACB1， ∴DE∥平面ACB1. 10.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点． 求证：(1)CD⊥AA1； (2)AB1⊥平面CED. 证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1. (2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°， 所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A