第6章 “4翼”检测评价(43) 基本事实4及空间两直线的位置关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第2册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(四十三) 基本事实4及空间两直线的位置关系 (一)基础落实 1．下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③　　　 　　　　 B．②④ C．③④ D．②③ 解析：选B　①错误，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的传递性可知．故选B. 2．在三棱锥S -ABC中，与SA是异面直线的是(　　) A．SB B．SC C．BC D．AB 解析：选C　如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线． 3．(多选)如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是共面直线的图是(　　) 解析：选ABD　A、B中直线PQ与RS是平行直线，D中直线PQ与RS是相交直线，而C中直线PQ与RS是异面直线．故选A、B、D. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH的夹角等于(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：选B　取A1B1中点I，连接IG，IH，则EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，所以IG与GH的夹角为60°，即EF与GH的夹角为60°.故选B. 5．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直 解析：选ACD　因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交，A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1的夹角为90°，D正确．故选A、C、D. 6．在三棱台A1B1C1-ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1的位置关系是__________． 解析：如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1. 答案：平行 7.在空间四边形ABCD中，如图所示，＝＝，＝＝，则EH与FG的位置关系是________． 解析：连接BD(图略)．在△ABD中， ＝＝，∴EH∥BD. 同理可得FG∥BD.∴EH∥FG. 答案：平行 8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD的夹角为90°，则MN等于________． 解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD的夹角．∴∠MPN＝90°.又∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝5. 答案：5 9.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.求： (1)BC和A′C′的夹角； (2)AA′和BC′的夹角． 解：(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC的夹角． 在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2， 所以∠B′C′A′＝45°. (2)因为AA′∥BB′， 所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′的夹角． 在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2， 所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°. 因此，异面直线AA′与BC′的夹角为60°. 10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证： (1)EF綊E1F1； (2)∠EA1F＝∠F1CE1. 证明：(1)如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊BD. 同理可证E1F1綊B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，则BD綊B1D1. 所以EF綊E1F1. (2)如图，取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1. 因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE， 所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1. 同理可证A1F∥CE1. 因为∠EA1F的