精品解析：2022年陕西省中考数学真题（副卷）

**基本信息** 以“神舟十四号”航天数据、赵爽弦图等真实情境与文化素材为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计凸显抽象能力、几何直观、数据意识等核心素养的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|绝对值、科学记数法、正方体表面最短路径|结合航天情境（题3），空间观念应用（题5）| |填空题|5/15|增长率、函数平移、菱形面积计算|实际问题建模（题11），几何性质综合（题13）| |解答题|13/81|浮力实验函数关系、河宽测量、视力统计分析、二次函数与相似|跨学科探究（题22），文化传承（题19），综合应用与创新（题26）|

2022年陕西省中考数学试卷（副卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值为（　　） A. 21 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：的绝对值为21， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，0的绝对值为0，负数的绝对值等于它的相反数． 2. 若，则的补角的度数为（ ） A. 42° B. 52° C. 132° D. 142° 【答案】C 【解析】 【分析】根据补角的定义进行求解即可． 【详解】 的补角 故选：C． 【点睛】本题考查了补角的定义，及如果两个角的和为180度，那么称这两个角“互为补角”，简称“互补”． 3. 2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近50000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景，其中，数据500000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据500000用科学记数法可以表示为， 故选：B． 4. 计算：( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则进行运算，即可求得． 【详解】解： ； 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 5. 如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将正方体展开，则，， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 6. 若方程的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，再分别求出各选项在时的函数值，即可得到答案． 【详解】由得， 当时， ，故A符合题； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的表达式，根据题意得出是解题的关键． 7. 如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，易得：是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． 8. 若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线只经过第一、二、三象限，可得抛物线与轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，当时，， ∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限， ∴抛物线与轴有两个交点，， ∴，， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式方法，是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 __． 【答案】9 【解析】 【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为8， ， ， ， ， ． 故答案为：9 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 11. 某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 __． 【答案】 【解析】 【分析】设年平均增长率为，根据增长问题列出方程，解方程求出增长率． 【详解】设该县这两年粮食总产量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 答：该县这两年粮食总产量的年平均增长率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握列方程解增长率问题是解题的关键． 12. 将函数的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数的图象交于点，则k的值为 __． 【答案】18 【解析】 【分析】将函数的图象沿y轴向上平移6个单位后，得到的图象函数解析式为，把代入得，即，再把代入即可得出答案． 【详解】解：将函数的图象沿y轴向上平移6个单位后，得到的图象函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴， 把代入得：， 解得， 故答案为：18． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象的平移，熟练掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 13. 如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由菱形的性质得，，，则是等边三角形，过C作于点G，过P作于点H，则，得，再由勾股定理得，然后证四边形是平行四边形，，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 过作于点，过作于点， 则， ，， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】-9 【解析】 【分析】根据乘法法则、二次根式的化简、负指数幂计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 15. 求不等式的正整数解． 【答案】4，3，2，1 【解析】 【分析】先解不等式，求出不等式的解集，再找到解集中的正整数即可． 【详解】解：两边同时乘以4得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式的正整数解有：4，3，2，1 【点睛】此题考查了一元一次不等式的特殊解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验． 17. 如图，已知扇形，请用尺规作图在上求做一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 点即为所求． 【解析】 【分析】作的角平分线交于，则，即知，即为符合条件的点． 【详解】解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于， 即：作的角平分线交于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即：该点即为所求． 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，解题的关键是掌握作角平分线的方法．也考查了弦与圆心角、弧的关系． 18. 如图，点，在的边上，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由，得，即可证明，从而． 【详解】， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其定理是解题的关键． 19. 我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在的正方形网格中，将弦图放大，使点A，B，C，D的对应点分别为，，，． （1）与的比值为 　 　； （2）补全弦图． 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格，解题的关键是读懂题意，理解弦图证明勾股定理． （1）观察正方形和正方形的关系可得答案； （2）按要求补全图形即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴，，，， ∴正方形放大为原来的2倍即得正方形， ∴与的比值为2； 故答案为：2； 【小问2详解】 解：补全弦图如下： 20. 有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0． （1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 　　； （2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率． 【答案】（1） （2）作图见解析； 【解析】 【分析】（1）根据频率频数总数进行求解即可； （2）根据题意画树状图，根据树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，硬币正面朝上的频率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能的情况，其中所得数字之和是6的有2种， ∴所得数字之和是6的概率是． 【点睛】本题主要考查了求频率，树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键． 21. 端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点处，测得河岸点处的俯角的度数，然后来到四层房间窗台点处，测得河对岸点处的俯角的度数与河岸垂直），并且发现与正好互余．其中，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，．已知米，米，米，求河宽． 【答案】河宽为4.25米 【解析】 【分析】根据，，，可得，又，即得，故，有，求出，从而可得河宽为4.25米 【详解】，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 米，米，米， ， 解得， （米， 答：河宽为4.25米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，相似三角形的实际应用． 22. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度x（）之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） （1）求所在直线的函数表达式； （2）当石块下降的高度为8时，求此刻该石块所受浮力的大小． 【答案】（1） （2）当石块下降的高度为8时，该石块所受浮力为N 【解析】 【分析】（1）设出所在直线的函数表达式，结合函数图象信息，运用待定系数法求解即可； （2）结合已求出的函数解析式，求得时的函数值，从而根据题意求出结论即可． 【小问1详解】 设所在直线的函数表达式为，将，代入得： ，解得， ∴所在直线的函数表达式为； 【小问2详解】 在中，令得， 由函数图象知，该石块重力为4N， ∵（N）， ∴当石块下降的高度为8时，该石块所受浮力为N． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确理解实际问题对应的函数图象信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式是解题关键． 23. 某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图． （1）这50名学生视力的众数为______，中位数为______； （2）求这50名学生中，视力低于的人数占被抽查总人数的百分比； （3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于的人数． 【答案】（1） （2）视力低于的人数占被抽查总人数的 （3）估计该校九年级学生中，视力不低于的人数为人 【解析】 【分析】（1）根据条形图确定出现次数最多的数据，即可求出众数，将数据排序后，找到第25个和第26个数据，两个数据的平均数即为中位数； （2）利用频数除以总数，进行求解即可； （3）利用样本估计总量即可得解． 【小问1详解】 解：由条形图可知，视力为的学生的人数最多，故众数为； 第25个和第26个数据分别为：，故中位数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； ∴视力低于的人数占被抽查总人数的； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校九年级学生中，视力不低于的人数为人． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总量．从条形图中有效的获取信息，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键． 24. 如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，以此推出，根据相似三角形的性质可得，以此得到，即可证明； （2）过点O作于点G，根据题意可证明，以此得到平分，则，，再根据，以此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∴， ∵， ∴， 即， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点G，如图所示， ∵，，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即为等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键． 25. 已知抛物线经过点，，与轴的交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点是该抛物线上一点，且位于其对称轴的右侧，过点分别作，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）坐标为，或， 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解题即可； （2）先确定的形状是等腰直角三角形，根据相似可知是等腰直角三角形，设设，根据解题即可． 【小问1详解】 把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图： ， 抛物线的对称轴是直线， 在中，令得， ， ， 是等腰直角三角形， 和相似， 是等腰直角三角形， 直线，轴， ，， 设， ， 或， 解得或或或， 点是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线的右侧， 的坐标为，或，． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数上点的坐标，相似三角形的性质，解题的关键是确定的形状． 26. （1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值． （3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）的最小值为；（3）的长为500米，的长为1000米 【解析】 【分析】（1）过B作于P，由垂线段最短可知，时，的值最小，由面积法即可求解； （2）作E关于直线的对称点，连接交于P，由E，关于直线对称，可知，当B，P，共线时，此时最小，最小值为的长度，根据，点E是的中点，可得，再用勾股定理可得答案； （3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，由C，N关于对称，C，M关于对称，，当N，E，F，M共线，最小，根据，，可得，即得米，米，米，由，知是等边三角形，从而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米． 【详解】解：（1）过B作于P，如图： 由垂线段最短可知，时， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）作E关于直线的对称点，连接交于P，如图： ∵E，关于直线对称， ∴， ∴， 当B，P，共线时，最小，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵E，关于直线对称， ∴， ∴， 在中， ， ∴的最小值为； （3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，如图： ∵由C，N关于对称，C，M关于对称， ∴， ∴， 当N，E，F，M共线时，此时最小； ∵， ∴， ∵C，M关于对称， ∴， ∴， ∴米，由勾股定理得米， ∴米， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∵C，N关于对称， ∴C，B，N共线，， ∴米， 由勾股定理得米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， （米）， 在中， （米）， ∴（米）， 答：的长为500米，的长为1000米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年陕西省中考数学试卷（副卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值为（　　） A. 21 B. C. D. 2. 若，则的补角的度数为（ ） A. 42° B. 52° C. 132° D. 142° 3. 2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近50000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景，其中，数据500000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：( ) A. B. C. D. 5. 如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 若方程的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是( ) A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：___________． 10. 如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 __． 11. 某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 __． 12. 将函数的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数的图象交于点，则k的值为 __． 13. 如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 __． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 求不等式的正整数解． 16. 解方程：． 17. 如图，已知扇形，请用尺规作图在上求做一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，点，在的边上，且，，．求证：． 19. 我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在的正方形网格中，将弦图放大，使点A，B，C，D的对应点分别为，，，． （1）与的比值为 　 　； （2）补全弦图． 20. 有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0． （1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 　　； （2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率． 21. 端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点处，测得河岸点处的俯角的度数，然后来到四层房间窗台点处，测得河对岸点处的俯角的度数与河岸垂直），并且发现与正好互余．其中，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，．已知米，米，米，求河宽． 22. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度x（）之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） （1）求所在直线的函数表达式； （2）当石块下降的高度为8时，求此刻该石块所受浮力的大小． 23. 某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图． （1）这50名学生视力的众数为______，中位数为______； （2）求这50名学生中，视力低于的人数占被抽查总人数的百分比； （3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于的人数． 24. 如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 25. 已知抛物线经过点，，与轴的交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点是该抛物线上一点，且位于其对称轴的右侧，过点分别作，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 26. （1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值． （3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $