专题06 “透析结构”，解决不等式证明问题（含双变量）-【题型方法解密】2023年高考数学二轮常考点+重难点复习攻略（新高考地区专用）

专题06“透析结构”，解决不等式证明问题（含双变量） 目录 一 重难点题型方法 1 题型一：常规型不等式证明 1 <结构一：差构造、换元构造、同构构造> 1 题型二：含n的不等式证明 8 <结构一：“和”型> 8 <结构二：“积”型> 14 题型三：双变量问题 19 <结构一：统一变量“函数”型> 19 <结构二：和差积商“根”型> 24 题型四：极值点偏移 31 <结构一：“和”型> 31 <结构二：“积”型> 35 二 针对性巩固练习 39 重难点题型方法 题型一：常规型不等式证明 <结构一：差构造、换元构造、同构构造> 【典例分析】 典例1-1．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数． (1)若，试判断的单调性，并证明你的结论； (2)设，求证：． 典例1-2．（2023春·山东青岛·高二山东省青岛第十九中学校考阶段练习）已知. (1)求函数的最小值； (2)若存在，使成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，都有成立． 【方法技巧总结】 1.利用导数证明不等式的基本步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数h(x)； (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 【变式训练】 1．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知函数， (1)证明：； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)设，证明：函数存在唯一的极大值点，且. 2．（河南省焦作市2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知函数． (1)若在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若函数，证明：当时，恒成立． 题型二：含n的不等式证明 <结构一：“和”型> 【典例分析】 典例2-1．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知函数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知，，求证：； (3)已知n为正整数，求证：. 典例2-2．（2023·山东德州·统考一模）已知，且0为的一个极值点． (1)求实数的值； (2)证明：①函数在区间上存在唯一零点； ②，其中且． <结构二：“积”型> 典例2-3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：． 【方法技巧总结】 1. 证明不等式的关键是能够充分利用函数的单调性，将所证不等式进行放缩，从而结合裂项相消求和的知识进行证明. 2. 证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的. 【变式训练】 1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数. (1)证明：； (2)若，求实数的取值范围； (3)证明：. 2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值; (2)证明:对于任意的正整数,不等式成立. 3．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）已知函数，当时，． (1)求的取值范围； (2)求证：（）． 题型三：双变量问题 <结构一：统一变量“函数”型> 【典例分析】 典例3-1．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数． (1)若，求方程的解； (2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明． <结构二：和差积商“根”型> 典例3-2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的导函数为. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且. 典例3-3．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，，证明：． 【方法技巧总结】 1. 转化，由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 2.巧构函数，借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 3.回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 【变式训练】 1．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 3．（2023秋·山西太原·高二统考期末）（B）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若有两个极值点，且，求证：. （参考数据：） 题型四：极值点偏移问题 <结构一：“和”型> 【典例分析】 典例4-1．（2023·全国·高二专题练习）设，. (1)设，讨论函数的单调性； (2)若函数在有两个零点，，证明：. <结构二：