专题16 利用导数研究双变量问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题16 利用导数研究双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 一、单选题 1．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】不妨设，可得，可得， 令，则， 所以，函数在上为增函数， 对任意的恒成立，所以，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，.故选：B. 2．已知函数，若且满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意时，是减函数，且， 时，是减函数，且， 由且得，，，， ，所以，， 设，， 时，，是增函数，所以，即， 所以．故选：C． 3．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】的定义域， ，令，则必有两根， ，所以， ， ， ， 当时，，递减，所以 的最小值为，故选：A. 4．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】若对于，，使成立，只需， 因为，所以，当时，，所以在上是减函数，所以函数取得最小值．因为， 当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立； 当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解；综上，实数的取值范围是，故选:A． 5．已知e为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得，成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】设，，，， ，时，，递减，时，，递增，∴，，，∴ 在上是减函数，∴， 由题意，∴，即．故选：B． 6．若函数存在两个极值点和，则取值范围为（       ） A．(-∞，] B．(-∞，) C．(，+∞) D．[，+∞) 【解析】，由函数存在两个极值点和，得，∴. 且，，∴，， 令，，∵，，所以在(2，+∞)上递减，，即，故选B. 7．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 令，所以，对函数求导： ，   由有：， 由有：，所以在单调递增，在 单调递减，因为，由有：，故A错误； 因为，所以，由有：，故D错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，故C正确； 令 有： =，当，.所以 在单调递增，当时，， 即，又，所以， 因为，所以，因为在 内单调递减，所以，即，故B错误. 故选：C. 8．已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意，，令， 则，恒成立，即恒成立，即 ，令 令，即在单调递增； 令，即在单调递减. ， 令， 令，即在单调递增；令，即在单调递减； ，，故选：B 9．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题得函数的导数. 由题意可得（，且）.即有， 化为，而，∴， 化为对都成立，令，， ，对恒成立，即在递增， ∴，∴，∴，即的取值范围是.故选：B. 10．已知，其中a≠b，若恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】令，则， 故当时，，当时，，而， 不妨设，则；两式相减，可得， 则，，，∴； 令, 设，则； 令，则， ∴函数在上单调递减，故，则， 故函数在上单调递减，故，即， ∴函数在上单调递减， ∴，即，即，故，故实数的取值范围为. 故选：C. 11．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】当时，，； 当时，，， 综上，对. 有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设. 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，.令. .令， ，令.时，；时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，. 函数的值域为，即的取值范围是.故选：. 二、多选题 12．已知函数和，若，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称， 将与联立求得交点为，则，即，A正确． 易知为单调递增函数，因为，， 由零点存在性定理可知，B正确． 易知为单调递减函数，，，由零点存在性定理可知． 因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C错误． 因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D正确． 故选：ABD 13．已知函数，，若对任意的，均存在，使