拓展一：条件概率、全概率公式及贝叶斯公式8种常见考法归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

拓展一：条件概率、全概率公式及贝叶斯公式 8种常见考法归类 考点一 条件概率的定义及计算 （一）利用定义求条件概率 （二）缩小样本空间求条件概率 考点二 包含事件的条件概率问题 考点三 相互独立事件的条件概率问题 考点四 概率的乘法公式 考点五 条件概率的性质及应用 考点六 全概率公式的计算 考点七 全概率公式解决实际问题 （一）产品质检 （二）游戏获胜问题 （三）普查疾病 （四）根源问题 考点八 贝叶斯公式的应用 1、一个概念三个公式 条件概率 条件概率是理解并进行复杂概率运算的基础，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的应用和拓展.条件概率的本质是缩小样本空间后的事件概率，通过古典概型(或其他概型)，抽象概括成条件概率的概念（定义式） 注：条件概率定义式反映了“原”样本空间的与缩小后的样本空间的之间的关系. 条件概率概念的建立要抓住“事件”和“空间”进行分析，要分析“条件”是必然性还是“随机”性，是以“条件”重构的样本空间还是在原样本空间中运用“条件”.因此，“事件”“空间”和“条件”是概念建立的关键词. (1)对条件的理解：第一，从缩小样本空间的角度上看，在条件“已经发生”的基础上，样本空间缩小了，是在缩小了的空间上用概率模型或概率计算方法求解概率.第二，从概率之间的相互联系分析，在事件发生的条件下，事件发生的概率又与在原样本空间上事件发生的概率有关系，正因为此时的是事件在原样本空间发生的概率，因而事件在原样本空间里不是“必然发生”的事件，不是“发生过了”的事件，而是随机事件. (2)对和的分析.学生容易混淆和，认为它们都是“事件发生了，事件也发生了”，实际上，它们有着本质的区别.第一，前者指缩小样本空间后事件发生的概率，此时，事件已经发生了，以发生为条件重新组构样本空间.第二，后者指原样本空间上事件同时发生的概率，此时事件不一定是必然发生的事件，一般为随机事件.亦即，第一，它们的样本的空间不同，前者以事件发生为条件，缩小了样本空间即，后者是原来样本空间没有改变.第二，事件不同，前者是针对缩小样本空间后的事件，后者是针对原样本空间的事件. (3)注意“条件”的变化.条件概率中的“条件”具有相对性， ①. ①式中含两个式子，其“条件”不一样，说明在一个样本空间中，条件不是一成不变的，这在之后的乘法公式、贝叶斯公式中能够更好的体现. (4)条件概率的计算.条件概率一般有三种求法，一是原样本空间概率法，即定义式，二是缩小样本空间法，是指在缩小的样本空间上用古典概型或几何概型等计算，三是原样本空间计数法，即. (5)条件概率的性质.根据条件重构样本空间、缩小样本空间后“新”的样本空间上概率的性质即是条件概率的性质 乘法公式 将条件概率的“定义式”进行变形即可得到乘法公式，乘法公式与条件概率定义式是概率的同一关系的不同显现形式，由乘法公式立即可以得到独立事件概率计算公式.乘法公式彻底解决了积事件概率问题. 乘法公式:注重条件的变化，条件概率定义的变式运用 由条件概率公式得乘法公式， ②. ②式与①式是等价的，说明在求积事件概率时，“条件”可以是，也可以是，积事件中的“条件”是相对的.“一个概念，三个公式”的概念建立环环相扣，积事件中“条件”的变化是之后理解贝叶斯公式的基础. 运用公式②时，由于与在同一式子中，我们一般通过缩小样本空间先求出条件概率，再用公式②求积事件的概率. 两个事件的积事件概率公式可以推广到个事件，即之前发生的事件作为之后事件发生的条件. 直观上，当事件与相互独立时，事件发生与否对事件发生的概率没有影响，此时注意:作为条件的事件其概率必须大于零)，相应的，公式②变成了③.如果从直观上判定两个事件是独立事件后，③式是作为独立事件的结论的，如果我们假定或已知两个事件相互独立，则可以用③式的结论求积事件概率了.而如果从独立事件定义角度上看，③式则作为判断独立事件的条件. 以下四条中的任意一条均可作为判断独立性的条件: (1). (2). (3). (4). 全概率公式 全概率公式是概率加法和乘法公式的综合运用，其本质是将一个复杂事件的概率分解成若干个两两互斥的事件“相并”的概率，用以解决由“原因”事件引起“结果”事件概率问题，从已知的可求的事件的概率推算末知的复杂事件的概率是概率论问题解决的基本思想，全概率公式充分体现了这一思想. 全概率公式的基本含义是通过事件转化求解概率.怎样把事件进行转化呢?第一，当一个事件发生有多种情况时，要考虑分类，通过分类理出事件发生发展的条理.第二，分类后的每一个事件一般不再是“单一”的事件，而是积事件.第三，事件转化后，通过和事件与积事件求概率. 1、建立全概率公式意图和思想方法 把一个复杂事件变成若干个互斥事件相并，通过并事件