专题12 全等三角形基本模型（4大模型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题12 全等三角形基本模型（4大模型） 模型归纳 模型一：平移型 模型二：翻折型 模型三：旋转型 模型四：一线三垂直型 【典例分析】 【模型一：平移型】 【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： . 【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E． 【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD． 【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：． 【模型二：翻折型】 【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC． 【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ． 求证： ． 【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C． 【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC. 【模型三：旋转型】 【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO． 【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE． 【典例4】如图，，，，求证：. 【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G. （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数. 【模型四：一线三垂直型】 【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN． （1）求证：MN＝BM+CN； （2）求证：∠BAC＝90°． 【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同） 【变式5-2】在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 . （1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时， ①求证： ≌ ； ②求证： ； （2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 【夯实基础】 1．如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若AB＝8，CF＝6，则BD的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则∠EDB的度数为（　　） A．30° B．20° C．10° D．15° 4．如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（　　） A．1 B． C．2 D．3 5．如图，D、E分别为AB、AC边上的点，∠B＝∠C，BE＝CD．若AB＝7，CE＝4，则AD的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．11 7．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数． 9．如图，AD∥BC，AD＝CB．求证：△ADE≌△CBE． 10．已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA＝OE．求证：△ABO≌△EDO． 11．如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED． 12．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2． 13．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF． 14．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB． 1