专题11 三角形常见模型（热考模型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题11 三角形常见模型（热考模型） 模型归纳 模型一：飞镖模型 模型二：8字模型 模型三：角平分线模型 模型四：裁剪模型 模型五：翻折模型 【典例分析】 【模型一：飞镖模型】 【典例1】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图 （1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　 　°． ②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数． 【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　） A．20° B．15° C．30° D．25° 【变式1-2】（2017•东昌府区一模）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（　　） A．33° B．23° C．27° D．37° 【变式1-3】（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【变式1-4】（2021•碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝　 　． 【模型二：8字模型】 【典例2】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【变式2-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式2-2】如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【变式2-3】已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 【变式2-4】在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： （1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC． （2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由． 【典例3】如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．90° C．270° D．240° 【变式3-1】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度． 【变式3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　 【模型三：角平分线模型】 【典例4】在△ABC中，∠A＝40°： （1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC； （2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC； （3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC； （4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写