专题19.3 课题学习 选择方案-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

专题19.3 课题学习 选择方案 1.能通过函数图象获取信息，发展形象思维； 2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题（行程、工程、销售、方案等）； 3.掌握一次函数解析式的求法（待定系数法），并熟练解决常见图形的面积问题； 知识点01 一次函数中的实际应用 【知识点】一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【知识拓展1】行程类问题 【解题技巧】 1）纵坐标表示行驶路程 1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 2）纵坐标表示两者之间的距离 1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和； 3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 例1．（2022·安徽八年级期中）如图，A，B两地相距240km，甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后，乙驾驶汽车由B地驶往A地，乙达到A地停留1小时后，按原路原速返回B地，恰好与甲同时到达B地，乙行驶过程中两人均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程y（km）与乙所用时间x（h）的关系如图，结合图象回答，当两人之间相距120km时，x＝____________． 【答案】0.5或2或3.5． 【分析】根据甲骑摩托车的速度及时间求出乙行驶的时间，由此得到乙每段行驶的函数解析式，再分段列方程求解． 【详解】解：由题意和图象可得，甲骑摩托车的速度是：40÷1＝40（km/h），甲到达B地用的时间为：240÷40＝6（h），乙从B地到A地用的时间为：（6﹣1﹣1）÷2＝2h， 当0≤x≤2时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax，240＝2a，得a＝120， 即当0≤x≤2时，乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝120x， 当2＜x≤3时，y′＝240， 当3＜x≤5时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax+b， ，解得， 即当3＜x≤5时，乙的行驶路程y与时间x的函数关系式是y′＝﹣120x+600； 设甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝mx+n，，解得， 即甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝40x+40， 当0≤x≤2时，甲乙相遇前，令（40x+40）+120x＝240﹣120，得x＝0.5， 甲乙相遇后，令120x+（40x+40）＝240+120，解得，x＝2， 当3＜x≤5时，令40+3×40+40（x﹣3）＝120（x﹣3）+120，解得，x＝3.5， 由上可得，x为0.5或2或3.5时，两人之间相距120km．故答案为：0.5或2或3.5． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的实际应用，解题中分类思想的应用，正确理解题意是解题的关键． 例2．（2022·安徽淮北·八年级月考）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先求出甲乙两人的速度，a是乙追上甲所用的时间，根据追上时两人的路程相等，列方程可以得出；c是乙跑100秒时，两人之间的距离，求出乙出发100秒的路程，甲出发102秒的路程，再相减可以得 出；b是甲到达终点的时间，因为此图中的t是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论． 【详解】解：甲的速度为；乙的速度为； ；，解得，． ∴正确的有①②③．故正确结论的个数有3个，故选：D． 【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起