第11讲 正方形中的几个常用模型探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第11讲 正方形中的几个常用模型探究 模型一 正方形的“十字架”模型A B C D H G E F 如图，正方形ABCD中，E、F在其左右两对边上，G、H在其上下两对边上. 若有EF⊥GH，则必有EF=GH. 证明方法：构造全等； 逆向应用：见“十字架”想直角三角形全等 【例题】：1．如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有什么关系吗？并给予证明． 【变式】去掉BE＝CF时， （1）若已知AE=BF，则AE⊥BF成立吗？ （2）若已知AE⊥BF，则AE=BF成立吗？ 【针对练习】 1．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为 　 　． 5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　 　． 6．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O． （1）求证：BE＝FG； （2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长． 模型二 正方形中的“三垂定理”模型 如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF 【例题】．（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF． 小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF． 请你写出证明过程． （2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由． 【针对练习】 1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是 　 　． 2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 5．[经典问题回顾] 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF． 对于本题，我们常用的思路是在AB上截取BM＝BE，构造全等三角形进行证明． 小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路： 思路一：如图（1），在AB的延长线上截取BN，使BN＝BE，连接NE，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证； 思路二：如图（2），连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，利用全等三角形，获证； 思路三：如图（3），连接AC，作EG∥AB，交AC与点G，利用全等三角形，获证． [