第9章 第2讲 数据的数字特征、用样本估计总体-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第九章　统计与统计模型 第2讲　数据的数字特征、用样本估计总体 ⁠ 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数. 2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度. ⁠ [对应学生用书P191] 1.数据的数字特征 （1）最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. （2）平均数 ①定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝⁠⁠　（ x1＋x2＋…＋xn）　⁠. 这一公式在数学中常简记为＝xi. （x1 ＋x2＋…＋xn）　 ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均数为x，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为⁠⁠　a＋b　⁠. a＋b　 （3）中位数 如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称⁠⁠　　⁠为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称⁠⁠　⁠为这组数的中位数. （4）百分位数 ①定义：一组数的p%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有（100－p）%的数据不小于该值. 　 　 ②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取⁠⁠　　⁠为p%分位数；如果i是整数，取⁠⁠　　⁠为p%分位数. （5）众数 一组数据中，出现次数⁠⁠　最多　⁠的数据称为这组数据的众数. （6）极差、方差与标准差 ①极差：一组数的极差指的是这组数的⁠⁠　最大值　⁠减去⁠⁠　最小值　⁠所得的差，描述了这组数的离散程度. 　 　 最多　 最大值　 最小值　 ②方差 定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝⁠⁠　 （xi－）2 　⁠ ＝⁠ . 性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为⁠⁠　a2s2　⁠. （xi－）2　 a2s2　 xi2－ 2 　 ③标准差 定义：方差的⁠⁠　算术平方根　⁠称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn的标准差为s＝. 性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为｜a｜s. 算术平方根　 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出⁠⁠　样本　⁠对应的数字特征即可. 样本　 ⁠⁠ 巧用三个有关的结论 （1）若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a； （2）数据x1，x2，…，xn与数据x1'＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变； （3）若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（　　） 答案　（1）×　 （2）方差与标准差具有相同的单位.（　　） 答案　（2）×　 （3）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（　　） 答案　（3）√　 （4）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.（　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（教材改编题）学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是68，63，77，76，82，88，92，93，则这8名学生成绩的75%分位数（　　） A.88分 B.89分 C.90分 D.92分 解析　8名学生的成绩从小到大排列为63，68，76，77，82，88，92，93， 因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即×（88＋92）＝90（分），故选C. 答案　C 3.（教材改编题）若数据9，m，6，5的平均数为7，则数据17，2m－1，11，9的平均数和方差分别为（　　） A.13，5 B.14，5 C.13，10 D.14，10 解析　依题意得＝7，解得m＝8，于是2m－1＝15，故17，15，11，9的平均数是＝13，方差为[（17－13）2＋（15－13）2＋（11－13）2＋（9－13）2]＝10. 故选C. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（不理解数字特征的意义致错）在某次足球联赛上，红队每场比赛平均失球个数是1.6，全年比赛失球个数的标准差是1.1；蓝队每场比赛平均失球个数是2.2，全年比赛失球个数的标准差是0.4，则下列说法正确的是 （　　） A.平均