第6章 自主培优10 构造新数列-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第六章　数列 自主培优10　构造新数列 对应学生用书P120 　　求数列通项公式，除了我们已经学习的公式法、累加法、累乘法等，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式. 类型一　形如an＋1＝can＋d（c≠0，其中a1＝a）型 [典例1]　（1）设数列满足a1＝1，且an＝3an－1＋4，则数列的通项公式为an＝ 　　　　⁠.  解析　∵an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3，∴＝3. ∵a1＝1，则a1＋2＝3，∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ∴an＋2＝3·3n－1＝3n，所以an＝3n－2. 答案　3n－2 （2）已知数列的前n项和为Sn，且Sn＋2an＝n，则an＝ 　　　　⁠.  解析　当n＝1时，a1＋2a1＝1，a1＝； 当n≥2时，Sn＋2an＝n，Sn－1＋2an－1＝n－1， 两式相减得3an－2an－1＝1，an＝an－1＋，an－1＝， 所以数列是首项为a1－1＝－，公比为的等比数列， 则an－1＝－，所以an＝1－. 答案　1－ ⁠ 设＋λ＝c（an＋λ），得＝can＋（c－1）λ， 与题设＝can＋d比较系数得λ＝（c≠1），所以an＋＝c（n≥2）， 即构成以为首项，c为公比的等比数列. 类型二　形如an＋1＝（r，p，q为常数，r＞0，p，q，an≠0）型 [典例2]　已知数列满足a1＝，an＋1＝，若bn＝－1，则数列的通项公式为bn＝ 　　　　⁠.  解析　因为an＋1＝，所以＝－1，所以－1＝－2＝2， 而－1＝1，且bn＝－1，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴bn＝1×2n－1＝2n－1. 答案　2n－1 ⁠ ＝（r，p，q为常数，r＞0，p，q，an≠0）的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式bn＝A＋B（n≥2，A，B是常数），进而求解. 类型三　形如an＋1＝pan＋q·pn＋1（p≠0，1，q≠0）型 [典例3]　已知数列中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则an＝ 　　　　⁠.  解析　∵an＋1＝3an＋3n，∴－＝，∴数列是等差数列，公差为.又＝， ∴＝＋（n－1）×＝，∴an＝n·3n－1. 答案　n·3n－1 ⁠ ＝pan＋q·（p≠0，1，q≠0）的求解方法是等式两边同时除以，即得－＝q，则数列为等差数列. $