第6章 高考重点突破二 数 列-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第六章　数列 高考重点突破二　数　列 ⁠ 1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题. 2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题. ⁠ [对应学生用书P125] 考点一　数学文化与数列的实际应用 [例1]　（1）今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，…按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是 　　　　⁠.  解析　设每个30分钟进去的人数构成数列， 则a1＝2＝2－0，a2＝4－1，a3＝8－2，a4＝16－3，a5＝32－4，…，an＝2n－. 设数列的前n项和为Sn，依题意，只需求 S11＝（2－0）＋（22－1）＋（23－2）＋…＋（211－10） ＝－ ＝－＝212－2－55＝212－57＝4 039. 答案　4 039 （2）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，则前n个正方形的面积之和为 　　　　　　⁠.  解析　设第n个正方形的边长为an，由题意可得an＋1＝＝an，且a1＝4， 故数列是以4为首项，以为公比的等比数列， 所以＝＝＝，且S1＝42＝16， 所以数列是以16为首项，以为公比的等比数列， 因此，前n个正方形的面积之和为＝32. 答案　32 ⁠ 数列应用问题常见模型 （1）等差模型：后一个量比前一个量增加（或减少）的是同一个固定值. （2）等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数. （3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与（或者相邻三项）之间的递推关系，或者Sn与（或者相邻三项）之间的递推关系. 变式训练 1.（2023·云南西双版纳·二模）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是 （　　） A.15 B.16 C.18 D.21 解析　设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6， 则a5＝a1＋（5－1）×3＝6＋12＝18，故选C. 答案　C 2.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于R0＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数R0＝3，平均感染周期为7天（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，经过一个周期后这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……），那么感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要的天数为（参考数据：36＝729，45＝1 024）（　　） A.35 B.42 C.49 D.56 解析　感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要n轮传染， 则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：1＋R0＋＋…＋＝. ∵R0＝3，∴当感染人数增加到1 000人时，＝1 000，化简得3n＝667， 由35＝243，36＝729，故得n≈6.又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要6×7＝42天，故选B. 答案　B 考点二　等差、等比数列的综合运算 [例2]　（2023·滨州模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； 解　（1）设等差数列{an}的公差为d，因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4， 所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋（n－1）×2＝2n. 又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n. （2）设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.