第6章 第3讲 等比数列-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第六章　数列 第3讲　等比数列 ⁠ 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. ⁠ [对应学生用书P117] 1.等比数列的概念 （1）定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个⁠⁠　常数q　⁠，即＝⁠⁠　q　⁠恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. 常数q　 q　 数学语言表达式：＝⁠⁠　q　⁠（n≥2，q为非零常数）. （2）等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称⁠⁠　G　⁠为x与y的等比中项，且G2＝⁠⁠　xy　⁠. q　 G　 xy　 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 （1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝⁠⁠　a1　⁠； 通项公式的推广：an＝am. （2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝⁠⁠　　⁠＝. a1　 　 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝⁠⁠　am·an　⁠. （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，，，…仍是等比数列，公比为⁠⁠　qm　⁠. （3）当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为⁠⁠　qn　⁠. am·an　 qm　 qn　 ⁠⁠ 1.若数列{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则数列{c·an}（c≠0），{｜an｜}，{a2n}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.由＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）等比数列{an}的公比q＞1，则该数列单调递增.（　　） 答案　（1）×　 （2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（　　） 答案　（2）×　 （3）如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.（　　） 答案　（3）×　 （4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.（　　） 答案　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（教材改编题）已知数列是公比为q的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ③是公比为的等比数列； ④是公比为q的等比数列. 答案　C 解析　因为数列是公比为q的等比数列， ①＝不是等比数列； ②＝q2，是公比为q2的等比数列； 3.（教材改编题）设是公比为－2的等比数列，且a4＋2a6＝72，则S5＝（　　） A.－8 B.－11 C.8 D.11 解析　是公比为－2的等比数列，且a4＋2a6＝72， 则a1＋2×a1＝72，解得a1＝－1，则S5＝＝－11. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽略q＝1致误）已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是（　　） A.1 B.－ C.1或－ D.－1或 解析　当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝ －.综上，q的值是1或－. 答案　C 5.（忽视首项的符号致错）若数列是公比为q的递增等比数列，则 A.a1＞0，q＞1 B.a1＞0 C.q＞0 D.q＜0 解析　依题意，不妨设a1＝1，q＝2，数列是递增的等比数列，由此判断C，D选项错误.设a1＝－1，q＝，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.所以本题选B. 答案　B ⁠ [对应学生用书P118] 考点1　等比数列基本量的运算（题组通关） 1.（2022·河北唐山·三模）等比数列中，若＝1，8a2＋a5＝0，a2＜a5，则a5＝（　　） A.16 B.－16 C.32 D.－32 解析　∵8a2＋a5＝0，则＝q3＝－8，即q＝－2. 又∵a2＜a5，即－2a1＜16a1，则a1＞0且＝1，∴a1＝1，则a5＝16a1＝16. 答案　A 2.（2022·河北秦皇岛·三模）北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念.“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；…依次进行“n次分形”.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若