第6章 第2讲 等差数列-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第六章　数列 第2讲　等差数列 ⁠ 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 3.了解等差数列与一次函数的关系. ⁠ [对应学生用书P114] 1.等差数列的概念 （1）定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于⁠⁠　同一个　⁠常数d，即⁠⁠　－an＝d　⁠恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差. 数学语言表达式：－an＝d（n∈N*，d为常数）. 同一个　 －an＝d　 （2）等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝⁠⁠　　⁠. ②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋（n≥3，n∈N＋）成立. 　 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 （1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝⁠⁠　a1＋（n－1⁠. （2）前n项和公式：Sn＝⁠⁠　na1＋　⁠＝⁠⁠　　⁠. a1＋（n－ 1）d　 na1＋　 　 3.等差数列的性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋⁠⁠　（n－m）d　⁠（n，m∈N*）. （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则⁠⁠　ak＋al＝am＋an　⁠. （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为⁠⁠　md　⁠的等差数列. （4）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. （5）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. （n－m）d　 ak＋al＝am＋ an　 md　 （6）若等差数列的项数为2n（n∈N＋）时，则S2n＝⁠⁠　n（an＋an＋1）　⁠，且S偶－S奇＝⁠⁠　nd　⁠，＝. （7）若等差数列的项数为2n－1（n∈N＋）时，则S2n－1＝⁠⁠　（2n－1）an　⁠，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝（n－1）an，＝. n（an＋an＋1）　 nd　 （2n－1）an　 ⁠⁠ 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，A≠0）. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　　） 答案　（1）×　 （2）已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列.（　　） 答案　（2）√　 （3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2＝an＋.（　　） 答案　（3）√　 （4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（　　） 答案　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（教材改编题）等差数列中，若a3＝6，a1＋a11＝6，则a9等于 （　　） A.－1 B.0 C.－2 D.1 解析　因为1＋11＝3＋9，所以a1＋a11＝a3＋a9，所以a9＋6＝6，所以a9＝0. 答案　B 3.（教材改编题）记Sn为等差数列的前n项和.若a1＝ －2，a2＋a6＝2，则S9＝（　　） A.－54 B.－18 C.18 D.36 解析　设公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝－4＋6d＝2，解得d＝1， 所以an＝n－3，所以S9＝＝＝18. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（求等差数列和最值漏解）已知数列中，前n项和Sn＝n2－15n，则Sn的最小值是（　　） A.－14 B.－ C.－56 D.－112 解析　Sn＝n2－15n＝－，因为n∈N＋，二次项系数为正数， 所以n＝7或n＝8时，Sn取最小值为72－15×7＝－56，故选C. 答案　C 5.（忽视相邻项的符号致误）首项为30的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是 　　　　⁠.  解析　由题意知a1＝30，a8＜0，a7≥0.即解得－5≤d＜－. 答案　 ⁠ [对应学生用书P115] 考点1　等差数列基本量的运算（题组通关） 1.（2023·广东广州·三模）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的